Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe P3

Aufgabe P3.2 (4 Punkte)

Unter den Parallelogrammen

A B_{n} C D_{n}

gibt es das Rechteck

A B_{3} C D_{3}

.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

B_{3}

Lösung zu Aufgabe P3.2

Koordinaten von Punkten ermitteln

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Gegeben:

B_{n} (x | - \frac{2}{3} x + 7)

mit

x > 6

A (2 | 3)

C (10 | 3)

In jedem Rechteck sind die Seiten im

90^{\circ}

-Winkel verbunden.

Deshalb gilt:

\vec{A B_{3}} ⊥ \vec{B_{3} C}

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{A B_{3}} \circ \vec{B_{3} C} = 0

(\binom{x - 2}{- \frac{2}{3} x + 7 - 3}) \circ (\binom{10 - x}{3 - (- \frac{2}{3} x + 7)}) = 0

(\binom{x - 2}{- \frac{2}{3} x + 4}) \circ (\binom{10 - x}{\frac{2}{3} x - 4}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\binom{a_{1}}{a_{2}})

und

\vec{b} = (\binom{b_{1}}{b_{2}})

wird wie folgt dargestellt:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\binom{a_{1}}{a_{2}}) \circ (\binom{b_{1}}{b_{2}})

=

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}

(x - 2) \cdot (10 - x) + (- \frac{2}{3} x + 4) \cdot (\frac{2}{3} x - 4) = 0

|

Klammern auflösen

10 x - x^{2} - 20 + 2 x - \frac{4}{9} x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{8}{3} x - 16 = 0

|

Zusammenfassen

- \frac{13}{9} x^{2} + \frac{52}{3} x - 36 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- \frac{52}{3} \pm \sqrt{{(\frac{52}{3})}^{2} - 4 \cdot (- \frac{13}{9}) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- \frac{13}{9})}

(

x_{1} \approx 2, 67

), da

x > 6

(siehe Angabe)

x_{2} \approx 9, 33

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x = 9, 33

wird in

B_{n} (x | - \frac{2}{3} x + 7)

eingesetzt.

\Rightarrow

B_{3} (9, 33 | 0, 78)

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Aufgabe P3.1

Aufgabe P3.2

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