Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.1 (3 Punkte)

Berechnen Sie das Volumen

V

der Stahltanks in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = \frac{4}{3} \cdot π \cdot \tan (φ - 90^{\circ})

m³]

Lösung zu Aufgabe A3.1

Volumen eines Rotationskörpers

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Gegeben:

\bar{A E} = 2, 00 m

\Rightarrow

\bar{A F} = 1, 00 m

Seien

G_{n}

die Schnittpunkte von

[B_{n} D_{n}]

und

[F C_{n}]

\bar{F C_{n}} = 2 \cdot \bar{A B_{n}}

\Rightarrow

\bar{G_{n} C_{n}} = \bar{A B_{n}}

Der Stahltank ist ein zusammengesetzter Körper aus Zylinder und Kegel.

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Zylinders

Volumen eines Kegels

Ein Zylinder mit Radius

r

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = r^{2} \cdot π \cdot h

Ein Kegel mit Radius

r

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

V_{T a n k} = V_{Z y l i n d e r} + V_{K e g e l}

V_{T a n k} = r^{2} \cdot π \cdot h_{Z y l i n d e r} + \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h_{K e g e l}

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

Im Stahltank ist der Radius des Zylinders zugleich der Radius des Kegels.

Nun wird

r^{2} \cdot π

ausgeklammert.

V_{T a n k} = r^{2} \cdot π \cdot (h_{Z y l i n d e r} + \frac{1}{3} \cdot h_{K e g e l})

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Der Radius

r = \bar{A F} = 1, 00 m

, die Höhe

h_{Z y l i n d e r} = \bar{A B_{n}}

und die Höhe

h_{K e g e l} = \bar{G_{n} C_{n}} = \bar{A B_{n}}

werden in die Formel für das Tankvolumen eingesetzt.

V_{T a n k} = 1^{2} \cdot π \cdot (\bar{A B_{n}} + \frac{1}{3} \cdot \bar{A B_{n}})

V_{T a n k} = π \cdot \frac{4}{3} \cdot \bar{A B_{n}}

Nun muss noch

\bar{A B_{n}}

berechnet werden.

Da

\bar{A B_{n}} = \bar{G_{n} C_{n}}

und das Tankvolumen in Abhängigkeit von

φ

berechnet werden soll, betrachtet man das Dreieck

B_{n} C_{n} G_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Im Dreieck

B_{n} C_{n} G_{n}

gilt:

\tan (φ - 90^{\circ}) = \frac{\bar{G_{n} C_{n}}}{\bar{B_{n} G_{n}}} = \frac{\bar{A B_{n}}}{1}

\Rightarrow

\bar{A B_{n}} = \tan (φ - 90^{\circ})

V_{T a n k} = π \cdot \frac{4}{3} \cdot \bar{A B_{n}}

\Rightarrow

V_{T a n k} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot \tan (φ - 90^{\circ})

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Lösungen zu:

Aufgabe A3.1

Aufgabe A3.2

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Rotationskörpers

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