Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2015 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.2 (3 Punkte)

Die Figuren

A B_{n} C D

, die durch die Strecken

[A D]

[A B_{n}]

und

[B_{n} C]

sowie durch den Kreisbogen

\overset{⌢}{D C}

begrenzt sind, rotieren um die Gerade

A M

.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen

V

der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von

φ

gilt:

V (φ) = \frac{16}{3} \cdot π \cdot (4 \tan^{2} φ - 1) {cm}^{3}

Lösung zu Aufgabe A1.2

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Kegels

Ein Kegel mit Radius

r

und Höhe

h

, hat ein Volumen von:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Radius des Kegels entsprciht der Länder der Strecke

[M B_{n}]

V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot {\bar{M B_{n}}}^{2} \cdot π \cdot 4

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Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Zwischenrechnung:

\tan φ = \frac{\bar{M B_{n}}}{4}

\Rightarrow

\bar{M B_{n}} = 4 \tan φ

V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot (4 \tan φ)^{2} \cdot π \cdot 4 = \frac{64}{3} \cdot π \cdot \tan^{2} φ

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Volumen einer Kugel

Eine Kugel mit Radius

r

hat ein Volumen von:

V = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π

V_{Halbkugel} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{2}{3} \cdot 2^{3} \cdot π

V_{Rotationskörper} = V_{Kegel} - V_{Halbkugel}

V_{Rotationskörper} = \frac{64}{3} \cdot π \cdot \tan^{2} φ - \frac{16}{3} \cdot π = \frac{16}{3} π \cdot (4 \tan^{2} φ - 1)

V_{Rotationskörper} = \frac{16}{3} π \cdot (4 \tan^{2} φ - 1) {cm}^{3}

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Lösungen zu:

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Aufgabe A1.2

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