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Mittlere-Reife-Prüfung 2016 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.
Punkte C n liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke [ A B ] mit dem Mittelpunkt M . Die Winkel BAC n haben das Maß α mit α ∈ ] 0 ∘ ; 90 ∘ [ . Die Punkte A , B und C n sind die Eckpunkte von Dreiecken ABC n . Punkte D n sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten C n auf die Strecke [ AB ] .
Es gilt: AB ¯ = 6  cm .


Aufgabe A3.1  (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [ C n D n ] in Abhängigkeit von α gilt:

C n D n ¯ ( α ) = 6 ⋅ cos α sin α  cm .

Aufgabe A3.2  (3 Punkte)
Die Dreiecke ABC n rotieren um die Achse AB .
Begründen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von α gilt: V ( α ) = 72 ⋅ π ⋅ cos 2 α ⋅ sin 2 α  cm 3 .
Berechnen Sie sodann für α = 30 ∘ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

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