Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.

Das gleichschenklige Dreieck

A B C

mit der Basis

\bar{B C} = 12

cm und der Höhe

\bar{A D} = 9

cm ist die Grundfläche der Pyramide

A B C S

. Die Spitze

S

liegt senkrecht über dem Mittelpunkt

D

der Strecke

[B C]

mit

\bar{D S} = 8

cm.

Aufgabe A3.1 (3 Punkte)

Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide

A B C S

. Dabei soll die Strecke

[A D]

auf der Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung:

q = \frac{1}{2}

;

ω = 45^{\circ}

Berechnen Sie sodann das Maß

ε

des Winkels

D A S

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis:

ε = 41, 63^{\circ}

]

Aufgabe A3.2 (1 Punkt)

Die Strecken

[P_{n} Q_{n}]

mit

P_{n} \in [B S]

und

Q_{n} \in [C S]

verlaufen parallel zur Strecke

[B C]

. Der Punkt

R

liegt auf der Strecke

[A S]

mit

\bar{A R} = 4

cm. Die Punkte

P_{n}

Q_{n}

und

R

sind die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken

P_{n} Q_{n} R

mit der Basis

[P_{n} Q_{n}]

und dem Mittelpunkt

M_{n}

der Seite

[P_{n} Q_{n}]

. Die Dreiecke

P_{n} Q_{n} R

schließen mit der Seitenfläche

B C S

die Winkel

S M_{n} R

mit dem Maß

φ

ein.
Zeichnen Sie das Dreieck

P_{1} Q_{1} R

für

φ = 105^{\circ}

in das Schrägbild zu 3.1 ein.

Aufgabe A3.3 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Streckenlängen

\bar{M_{n} S}

und

\bar{P_{n} Q_{n}}

in Abhängigkeit von

φ

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt:

\bar{M_{n} S} (φ) = \frac{8, 04 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm und

\bar{P_{n} Q_{n}} (φ) = \frac{12, 06 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm.

Aufgabe A3.4 (3 Punkte)

Das Dreieck

P_{1} Q_{1} S

ist die Grundfläche der Pyramide

P_{1} Q_{1} S R

mit der Spitze

R

und der Pyramidenhöhe

h

.
Zeichnen Sie die Pyramidenhöhe

h

in das Schrägbild zu 3.1 ein und ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide

P_{1} Q_{1} S R

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis:

h = 6, 01

cm]

Aufgabe A3.5 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Dreieckshöhe

\bar{M_{n} R}

der Dreiecke

P_{n} Q_{n} R

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{M_{n} R} (φ) = \frac{6, 01}{\sin φ}

cm.
Berechnen Sie den Wert für

φ

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet, so dass das Dreieck

P_{2} Q_{2} R

gleichseitig ist.

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Lösungen zu:

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