Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.4 (3 Punkte)

Das Dreieck

P_{1} Q_{1} S

ist die Grundfläche der Pyramide

P_{1} Q_{1} S R

mit der Spitze

R

und der Pyramidenhöhe

h

.
Zeichnen Sie die Pyramidenhöhe

h

in das Schrägbild zu 3.1 ein und ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide

P_{1} Q_{1} S R

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis:

h = 6, 01

cm]

Lösung zu Aufgabe A3.4

Skizze

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Höhe

h

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einzeichnen

Die Höhe

h

ist das Lot vom Punkt

R

auf die Strecke

[D S]

Volumen einer Pyramide

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Gegeben:

\bar{R S} = 8, 04

cm,

∡ A S D = 48, 37^{\circ}

φ = 105^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

φ = 105^{\circ}

wird im Term von

\bar{M_{n} S}

und

\bar{P_{n} Q_{n}}

aus Teilaufgabe A3.3 eingesetzt.

\Rightarrow

\bar{M_{1} S} = \frac{8, 04 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + 105^{\circ})}{\sin 105^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{P_{1} Q_{1}} = \frac{12, 06 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + 105^{\circ})}{\sin 105^{\circ}}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Die Grundfläche

G

ist das gleichschenklige Dreieck

P_{1} Q_{1} S

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

G = \frac{1}{2} \cdot \bar{P_{1} Q_{1}} \cdot \bar{M_{1} S}

\Rightarrow

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{P_{1} Q_{1}} \cdot \bar{M_{1} S} \cdot h

\Rightarrow

V = \frac{1}{6} \cdot \frac{12, 06 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + 105^{\circ})}{\sin 105^{\circ}} \cdot \frac{8, 04 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + 105^{\circ})}{\sin 105^{\circ}} \cdot h

Sei

H

der Fußpunkt der Höhe

h

auf der Strecke

[D S]

. Zur Berechnung der Höhe

h

betrachtet man das Dreieck

R H S

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\sin ∡ A S D = \frac{h}{\bar{R S}}

|

\cdot \bar{R S}

h = \bar{R S} \cdot \sin ∡ A S D = 8, 04 \cdot \sin 48, 37^{\circ} = 6, 01

\Rightarrow

V = \frac{1}{6} \cdot \frac{12, 06 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + 105^{\circ})}{\sin 105^{\circ}} \cdot \frac{8, 04 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + 105^{\circ})}{\sin 105^{\circ}} \cdot 6, 01

\Rightarrow

V = 20, 92

cm³

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Lösungen zu:

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Aufgabe A3.2

Aufgabe A3.3

Aufgabe A3.4

Aufgabe A3.5

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Volumen einer Pyramide

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