Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.2 (4 Punkte)

Auf einer 3,5-Zoll Diskette kann eine Datenmenge von 1440 kB gespeichert werden. Die Diskette enthält einen Kreisring mit dem Außendurchmesser

8, 6

cm und dem Innendurchmesser

3

cm, auf dem die Daten beidseitig gespeichert werden.
Berechnen Sie die Speicherdichte

y_{Diskette}

der Diskette in der Einheit

\frac{kB}{{cm}^{2}}

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
Ermitteln Sie sodann, welches Jahr Moore für die Entwicklung einer solchen Diskette vorausgesagt hatte.
[Teilergebnis:

y_{Diskette} = 14, 11

]

Lösung zu Aufgabe B1.2

Flächeninhalt eines Kreisrings

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d_{1} = 8, 6

(Außendurchmesser)

d_{2} = 3

(Innendurchmesser)

Flächeninhalt des Kreisrings bestimmen:

A_{Kreisring} = A_{Außenkreis} - A_{Innenkreis}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Kreises

Der Flächeninhalt einer Kreises mir Radius

r

ist gegeben durch:

A = r^{2} \cdot π

A_{Kreisring} = r_{1}^{2} \cdot π - r_{2}^{2} \cdot π

A_{Kreisring} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} \cdot π - {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} \cdot π

A_{Kreisring} = [{(\frac{d_{1}}{2})}^{2} - {(\frac{d_{2}}{2})}^{2}] \cdot π

A_{Kreisring} = [{(\frac{8, 6}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}] \cdot π

^{2}

Flächeninhalt der Diskette bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

2 \cdot A_{Kreisring} = 2 \cdot [{(\frac{8, 6}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}] \cdot π

\Rightarrow

2 \cdot A_{Kreisring} \approx 102, 04

^{2}

Speicherdichte

y_{Diskette}

bestimmen:

y_{Diskette} = \frac{1440}{102, 4} \approx 14, 11 \frac{kB}{{cm}^{2}}

Exponentielles Wachstum

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Jahr bestimmen:

\frac{1}{8} \cdot 2^{\frac{x}{1, 5}} = 14, 11

|

\cdot 8

2^{\frac{x}{1, 5}} = 8 \cdot 14, 11

|

\log_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

2^{\frac{x}{1, 5}}

kann durch den Logarithmus

\log_{2}

aufgehoben werden.

Beispiel:

\log_{2} x = 3

\Leftrightarrow

2^{\log_{2} x} = 2^{3}

\Leftrightarrow

x = 8

\frac{x}{1, 5} = \log_{2} (8 \cdot 14, 11)

|

\cdot 1, 5

x = 1, 5 \cdot \log_{2} (8 \cdot 14, 11)

\Rightarrow

x \approx 10, 23

\Rightarrow

1970 + 10, 23 = 1980, 23

Antwort: Moore hat das Jahr 1980 für die Entwicklung einer solchen Diskette vorausgesagt.

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Lösungen zu:

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Aufgabe B1.3

Aufgabe B1.4

Aufgabe B1.5

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Kreisrings

Exponentielles Wachstum

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