Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe P3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe P3.2 (4 Punkte)

Die Punkte

B_{n}

können auf die Punkte

C_{n}

abgebildet werden.
Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte

C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

Lösung zu Aufgabe P3.2

Koordinaten von Punkten ermitteln

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

A_{n} (x | \frac{1}{4} x + 1)

Die Punkte

C_{n}

entstehen durch Drehung der Punkte

B_{n}

60^{\circ}

um das Drehzentrum

A_{n}

.

Vor Anwendung der Drehung müssen die Koordinaten der Punkte

B_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

berechnet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Koordinaten von Punkten in Abhängigkeit von der Abszisse anderer Punkte

Da die Abszisse der Punkte

B_{n}

stets um zwei größer als die Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

ist, ergibt sich für die

x

-Koordinate der Punkte

B_{n}

x + 2

, also

B_{n} (x + 2 | ?)

.

Die fehlende

y

-Koordinate erhält man, indem

x + 2

in die Gleichung der Geraden

h

eingesetzt wird.

B_{n} (x + 2 | - \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 8)

\Rightarrow

B_{n} (x + 2 | - \frac{1}{2} x + 7)

Drehung

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Jetzt wird der Vektor

\vec{A_{n} B_{n}}

berechnet, der anschließend um

60^{\circ}

gedreht wird.

\vec{A_{n} B_{n}} = (\binom{x + 2}{- \frac{1}{2} x + 7}) - (\binom{x}{\frac{1}{4} x + 1})

=

(\binom{2}{- \frac{3}{4} x + 6})

Schritt einblenden / ausblenden

Drehmatrix

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

.

Hier wird um das Drehzentrum

A_{n}

gedreht, welches dann anschließend noch aufaddiert werden muss.

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \cos 60^{\circ} & - \sin 60^{\circ} \\ \sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} 2 \\ - \frac{3}{4} x + 6 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} 2 \\ - \frac{3}{4} x + 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot 2 + (- \frac{1}{2} \sqrt{3}) \cdot (- \frac{3}{4} x + 6) \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3}{4} x + 6) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0, 65 x - 4, 2 \\ - 0, 375 x + 4, 73 \end{matrix})

Aufaddieren des Drehzentrums

A_{n}

\vec{C_{n}} = (\begin{matrix} 0, 65 x - 4, 2 \\ - 0, 375 x + 4, 73 \end{matrix}) + (\begin{matrix} x \\ 0, 25 x + 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1, 65 x - 4, 2 \\ - 0, 125 x + 5, 73 \end{matrix})

\Rightarrow

C_{n} (1, 65 x - 4, 2 | - 0, 125 x + 5, 73)

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Lösungen zu:

Aufgabe P3.1

Aufgabe P3.2

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Themen dieser Aufgabe:

Koordinaten von Punkten ermitteln

Drehung

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