Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.2 (3 Punkte)

Berechnen Sie auf Millimeter gerundet, bis zu welcher Höhe der Messbecher gefüllt ist, wenn er einen halben Liter Flüssigkeit enthält.

Lösung zu Aufgabe A1.2

Volumen eines Kegels

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Gegeben ist das Volumen

V_{1}

eines neuen geraden Kegels (Messbecher gefüllt mit halben Liter Flüssigkeit). Gesucht ist seine Höhe

h_{1}

Schritt einblenden / ausblenden

Größen umwandeln - Volumen

0, 5 l

Wasser entspricht einem Volumen von

0, 5

^{3}

.
Bei der Umwandlung zur nächst kleinen Größe, wird mit dem Faktor

10^{3}

multipliziert, sprich mal

1000

0, 5

^{3} = 0, 5 \cdot 1000

^{3} = 0, 5 \cdot 1000 \cdot 1000

^{3} = 500.000

^{3}

Tabelle für die Umwandlung:

V_{1} = 0, 5 l = 0, 5

^{3} = 500.000

^{3}

r = 69

mm,

h = 200

(siehe Aufgabe A 1.1)

h_{1}

ist die Höhe des neuen Messbechers (bei halben Liter Flüssigkeit).

r_{1}

ist der Radius des neuen Messbechers (bei halben Liter Flüssigkeit).

Radius

r_{1}

mit dem Vierstreckensatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vierstreckensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen:

1.

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

In diesem Fall (wenn

B

der Punkt ist, aus dem der Strahl kommt) gilt nach 2):

\frac{r_{1}}{r} = \frac{h_{1}}{h}

\frac{r_{1}}{r} = \frac{h_{1}}{h}

|

\cdot r

r_{1} = \frac{h_{1} \cdot r}{h} = \frac{h_{1} \cdot 69}{200}

r_{1}

in die Formel für das Volumen

V_{1}

des befüllten Messbechers einsetzen:

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r_{1}^{2} \cdot h_{1}

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{h_{1} \cdot 69^{2}}{200^{2}} \cdot h_{1}^{2}

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{69^{2}}{200^{2}} \cdot h_{1}^{3}

Formel für das Volumen nach

h_{1}

umstellen:

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{69^{2}}{200^{2}} \cdot h_{1}^{3}

|

\cdot (\frac{3 \cdot 200^{2}}{π \cdot 69^{2}})

h_{1}^{3} = \frac{3 \cdot V_{1} \cdot 200^{2}}{^{π} \cdot 69^{2}}

|

dritte Wurzel ziehen

h_{1} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V_{1} \cdot 200^{2}}{π \cdot 69^{2}}}

Höhe

h_{1}

bestimmen:

h_{1} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 500.000 \cdot 200^{2}}{π \cdot 69^{2}}} \approx 158

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