Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.1 (5 Punkte)

Frau Recht-Eck möchte ihr Grundstück mit der Flur-Nr. 712/84 (siehe nebenstehende Skizze), welches die Seitenlängen

60, 00

70, 00

m und

80, 00

m hat, gegen ein rechteckiges Grundstück mit dem gleichen Flächeninhalt eintauschen.
Die Länge des rechteckigen Grundstücks soll

1, 5

-mal so groß wie die Breite sein.

Berechnen Sie die Seitenlängen des rechteckigen Grundstücks. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe A3.1

Flächeninhalt eines Rechtecks

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Seien

a

die Länge und

b

die Breite des neuen rechteckigen Grundstücks.

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Rechtecks

Der Flächeninhalt

A

eines Rechtecks mit der Länge

a

und der Breite

b

beträgt:

A = a \cdot b

A = a \cdot b

Da die Länge

a

1,5-mal so groß wie die Breite

b

ist, kann man schreiben:

a = 1, 5 \cdot b

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

a = 1, 5 \cdot b

wird in

A = a \cdot b

eingesetzt.

A = a \cdot b = 1, 5 \cdot b \cdot b

\Rightarrow

A = 1, 5 \cdot b^{2}

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Das alte Grundstück hat die Fläche eines beliebigen Dreiecks mit den Seitenlängen

60, 00

70, 00

m und

80, 00

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

Beim alten Grundstück:

a = 60, 00

b = 80, 00

A = \frac{1}{2} \cdot 60, 00 \cdot 80, 00 \cdot \sin α

Der Winkel

α

wird mit dem Kosinussatz berechnet:

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α

70, 00^{2} = 60, 00^{2} + 80, 00^{2} - 2 \cdot 60, 00 \cdot 80, 00 \cdot \cos α

4900 = 10000 - 9600 \cdot \cos α

|

- 10000

- 5100 = - 9600 \cdot \cos α

|

: (- 9600)

\cos α = 0, 53125

|

\cos^{- 1}

\Rightarrow

α \approx 57, 91^{\circ}

A = \frac{1}{2} \cdot 60, 00 \cdot 80, 00 \cdot \sin 57, 91^{\circ} \approx 2033, 32

m²

Schritt einblenden / ausblenden

1, 5 \cdot b^{2} = 2033, 32

|

: 1, 5

b^{2} = 1355, 54

|

\sqrt{}

b = \sqrt{1355, 54}

\Rightarrow

b \approx 36, 82

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

b = 36, 82

m wird in

a = 1, 5 \cdot b

eingesetzt.

a = 1, 5 \cdot b = 1, 5 \cdot 36, 82

\Rightarrow

a = 55, 23

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Lösungen zu:

Aufgabe A3.1

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Rechtecks

Flächeninhalt eines Dreiecks

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