Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.2 (3 Punkte)

Der Punkt

B

kann auf den Punkt

C

abgebildet werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

C

. Runden Sie auf eine Stelle nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe A1.2

Drehung

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A (2 | 0)

B (5 | 3)

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})

\vec{A C}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Drehmatrix

\vec{A C}

erhält man durch Drehung von

\vec{A B}

A

mit dem Drehwinkel

α = 60^{\circ}

(das Dreieck

A B C

ist gleichseitig, also gleichwinklig).

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

Hier wird um das Drehzentrum

A

gedreht, welches dann anschließend noch aufaddiert werden muss.

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 60^{\circ} & - \sin 60^{\circ} \\ \sin 60^{\circ} & \cos 60^{\circ} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0, 5 & - 0, 5 \sqrt{3} \\ 0, 5 \sqrt{3} & 0, 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = \underset{\vec{A C}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1, 5 - 1, 5 \sqrt{3} \\ 1, 5 \sqrt{3} + 1, 5 \end{matrix})}}

Punkt

C

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

\vec{C} = \vec{A C} + \vec{A}

(\begin{matrix} x^{''} \\ y^{''} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1, 5 - 1, 5 \sqrt{3} \\ 1, 5 \sqrt{3} + 1, 5 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3, 5 - 1, 5 \sqrt{3} \\ 1, 5 \sqrt{3} + 1, 5 \end{matrix})

\Rightarrow

C (0, 9 | 4, 1)

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Drehung

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