Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1. (5 Punkte)

Die nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines dreieckigen Grundstücks

A B C

. Zum Bau einer neuen Straße muss ein Teil des Grundstücks abgetreten werden. Dabei verkürzen sich die Seiten

[A B]

und

[A C]

jeweils um ein Sechstel ihrer ursprünglichen Länge auf die Seiten

[A D]

und

[A E]

.
Es gilt:

\bar{A B} = 60

\bar{B C} = 45

\bar{A C} = 51

Berechnen Sie den Inhalt

A_{D B C E}

der abgetretenen Fläche und geben Sie an, um wie viel Prozent sich das Grundstück verkleinert hat.
[Teilergebnis:

∡ B A C = 46, 97^{\circ}

]

Lösung zu Aufgabe A1.

Flächeninhalt eines Dreiecks

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Alle drei Seitenlängen des ursprünglichen Grundstücks

A B C

sind gegeben:

\bar{A B} = 60

\bar{B C} = 45

\bar{A C} = 51

m

Somit lässt sich der Flächeninhalt des Dreiecks

A B C

berechnen.

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α$

A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C} \cdot \sin ∡ B A C

Winkel bestimmen

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Das fehlende Maß des Winkels

∡ B A C

wird mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet.

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

Es gilt:

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{A C}}^{2} - 2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C} \cdot \cos ∡ B A C

Umstellen:

{\bar{B C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{A C}}^{2} - 2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C} \cdot \cos ∡ B A C

|

+ 2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C} \cdot \cos ∡ B A C - {\bar{B C}}^{2}

2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C} \cdot \cos ∡ B A C = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{A C}}^{2} - {\bar{B C}}^{2}

|

: (2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C})

\Rightarrow

\cos ∡ B A C = \frac{{\bar{A B}}^{2} + {\bar{A C}}^{2} - {\bar{B C}}^{2}}{2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C}}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Die Werte

\bar{A B} = 60

\bar{B C} = 45

m und

\bar{A C} = 51

m werden in die Gleichung eingesetzt.

\cos ∡ B A C = \frac{60^{2} + 51^{2} - 45^{2}}{2 \cdot 60 \cdot 51}

∡ B A C = \cos^{- 1} (\frac{60^{2} + 51^{2} - 45^{2}}{2 \cdot 60 \cdot 51})

∡ B A C \approx 46, 97^{\circ}

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Mit dem berechneten Winkel

∡ B A C \approx 46, 97^{\circ}

ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks

A B C

A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A B} \cdot \bar{A C} \cdot \sin ∡ B A C

A_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 51 \cdot \sin 46, 97^{\circ}

A_{Δ A B C} \approx 1118, 42

m²

Nun wird auf die gleiche Art der Flächeninhalt des Dreiecks

A D E

berechnet.

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α$

A_{Δ A D E} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{A E} \cdot \sin ∡ B A C

A_{Δ A D E} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{A E} \cdot \sin 46, 97^{\circ}

[A D]

und

[A E]

entstehen, indem man

[A B]

und

[A C]

jeweils um

\frac{1}{6}

ihrer Länge verkürzt.

Schritt einblenden / ausblenden

Ansatz

\frac{1}{6}

von

\bar{A B}

\hat{=}

\frac{1}{6} \cdot \bar{A B}

\frac{1}{6}

von

\bar{A C}

\hat{=}

\frac{1}{6} \cdot \bar{A C}

\bar{A D} = \bar{A B} - \frac{1}{6} \cdot \bar{A B} = \frac{5}{6} \cdot \bar{A B} = \frac{5}{6} \cdot 60 = 50

\bar{A E} = \bar{A C} - \frac{1}{6} \cdot \bar{A C} = \frac{5}{6} \cdot \bar{A C} = \frac{5}{6} \cdot 51 = 42, 5

Mit den berechneten Seitenlängen

\bar{A D} = 50

m und

\bar{A E} = 42, 5

m ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks

A D E

A_{Δ A D E} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{A E} \cdot \sin 46, 97^{\circ}

A_{Δ A D E} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 42, 5 \cdot \sin 46, 97^{\circ}

A_{Δ A D E} \approx 776, 68

m²

Verhältnis von Teilflächen

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Der gesuchte Flächeninhalt des Vierecks

D B C E

ist die Differenz der beiden berechneten Dreiecksflächen:

A_{D B C E} = A_{Δ A B C} - A_{Δ A D E}

A_{D B C E} = 1118, 42 - 776, 68

A_{D B C E} = 341, 74

m²

Jetzt lässt sich der prozentuale Anteil der abgetretenen Fläche

A_{D B C E}

am ursprünglichen Grundstück

A_{A B C}

berechnen.

Schritt einblenden / ausblenden

Dreisatz

1118, 42

\hat{=}

100 %

341, 74

\hat{=}

x %

\frac{341, 74}{1118, 42} = \frac{x}{100}

x = \frac{341, 74}{1118, 42} \cdot 100

\frac{341, 74}{1118, 42} \approx 0, 3056 = 30, 56 %

Antwort: Das Grundstück hat sich um

30, 56 %

verkleinert.

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Flächeninhalt eines Dreiecks

Winkel bestimmen

Flächeninhalt eines Dreiecks

Verhältnis von Teilflächen

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