Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.1 (2 Punkte)

Im ersten Versuch wird festgestellt, dass sich die Anzahl der Krankheitserreger ohne Zugabe eines Medikaments täglich um

16 %

vergrößert.
Bestimmen Sie durch Rechnung, am wievielten Tag nach Versuchsbeginn sich die Anzahl der Krankheitserreger verdreifacht hat.

Lösung zu Aufgabe A1.1

Exponentielles Wachstum

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Gegeben:

Anfangsbestand:

y_{0} = 10 000

Wachstumsrate:

p = 16 % = 0, 16

Gesucht:

Zeit

x

, bis

y = 3 y_{0} = 30 000

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Änderungsrate

Die Änderungsrate

k

setzt sich zusammen aus

1 + p

bei positiven Wachstum bzw.

1 - p

bei negativen Wachstum (Zerfall oder Abnahme), wobei

p

die Wachstumsrate in Prozent ist.

k = 1 + p = 1 + 0, 16 = 1, 16

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Exponentielles Wachstum

Eine Exponentialfunktion ist allgemein gegeben durch die Form

y = y_{0} \cdot k^{x}

.

Dabei ist

y_{0}

der Anfangsbestand,

x

die Zeit und

k

die Änderungsrate.

30 000 = 10 000 \cdot 1, 16^{x}

| : 10 000

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Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

1, 16^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{1, 16}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8 \Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = 3

3 = 1, 16^{x}

| \log_{1, 16}

x = \log_{1, 16} 3

x \approx 7, 4

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Runden

Es wird gefragt, am wievielten Tag sich die Anzahl verdreifacht hat. Am

7 .

Tag ist die Anzahl noch kleiner als

30 000

. Somit muss das Ergebnis auf ganze Tage aufgerundet werden.

Nach acht Tagen ist die Anzahl der Krankheitserreger erstmals mehr als dreimal so groß wie zu Beginn des Versuches.

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Lösungen zu:

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Aufgabe A1.3

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Themen dieser Aufgabe:

Exponentielles Wachstum

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