Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.3 (2 Punkte)

Beim dritten Versuch wird ein Medikament B zugegeben, mit dem die Anzahl der Krankheitserreger täglich nur um

8 %

zunimmt. Bestimmen Sie durch Rechnung, am wievielten Tag nach Versuchsbeginn die Anzahl der Krankheitserreger mit Medikament B halb so groß ist wie die Anzahl der Krankheitserreger aus dem Versuch aus 1.1 ohne Medikament.

Lösung zu Aufgabe A1.3

Exponentielles Wachstum

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

Anfangsbestand

y_{0} = 10 000

Wachstumsraten

p_{0} = 16 % = 0, 16; p_{B} = 8 % = 0, 08

Gesucht:

Zeit

x

, bis

y_{B} = 0, 5 y

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Änderungsrate

Die Änderungsrate

k

setzt sich zusammen aus

1 + p

bei positiven Wachstum bzw.

1 - p

bei negativen Wachstum (Zerfall oder Abnahme), wobei

p

die Wachstumsrate in Prozent ist.

k = 1, 16; k_{B} = 1, 08

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Exponentielles Wachstum

Eine Exponentialfunktion ist allgemein gegeben durch die Form

y = y_{0} \cdot k^{x}

.

Dabei ist

y_{0}

der Anfangsbestand,

x

die Zeit und

k

die Änderungsrate.

10 000 \cdot 1, 08^{x} = \frac{1}{2} \cdot 10 000 \cdot 1, 16^{x}

10 000 \cdot 1, 08^{x} = 5 000 \cdot 1, 16^{x}

| : 5 000

2 \cdot 1, 08^{x} = 1, 16^{x}

| : 1, 16^{x}

2 \cdot \frac{1, 08^{x}}{1, 16^{x}} = 1

| : 2

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Potenzregeln

4. Potenzgesetz

\frac{1, 08^{x}}{1, 16^{x}}

kann mit Hilfe der Potenzregel

\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}

umgewandelt werden.

{(\frac{1, 08}{1, 16})}^{x} = 0, 5

| \log_{(\frac{1, 08}{1, 16})}

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Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

{(\frac{1, 08}{1, 16})}^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{(\frac{1, 08}{1, 16})}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8 \Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = 3

x = \log_{(\frac{1, 08}{1, 16})} 0, 5

x \approx 9, 7

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Runden

Es wird gefragt, am wievielten Tag die Anzahl erstmals halb so groß ist. Am

9 .

Tag ist die Anzahl noch mehr als halb so groß. Somit muss das Ergebnis auf ganze Tage aufgerundet werden.

Nach 10 Tagen ist die Anzahl der Krankheitserreger, die Medikament B ausgesetzt sind erstmals halb so groß wie die Anzahl der Krankheitserreger in einer medikamentenfreien Umgebung.

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Lösungen zu:

Aufgabe A1.1

Aufgabe A1.2

Aufgabe A1.3

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Themen dieser Aufgabe:

Exponentielles Wachstum

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