Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.1 (3 Punkte)

Berechnen Sie die Länge der Strecke

[D A]

.

[Teilergebnis:

∡ D B A = 13, 8^{\circ}

; Ergebnis:

\bar{D A} = 16, 5 cm

]

Lösung zu Aufgabe A3.1

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{A B} = 50, 0 cm

\bar{B C} = 60, 0 cm

und

∡ B A D = 120^{\circ}

Gesucht:

\bar{D A}

Wir betrachten das stumpfwinklige Dreieck

A B D

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Um den Kosinussatz im Dreieck

A B D

verwenden zu können muss der Winkel

∡ D B A

berechnet werden.

Berechnung des Winkel

∡ D B A

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

A B D

gilt somit:

\frac{\bar{A B}}{\sin ∡ A D B} = \frac{\bar{B D}}{\sin ∡ B A D} = \frac{\bar{D A}}{\sin ∡ D B A}

\frac{\bar{B D}}{\sin ∡ B A D} = \frac{\bar{A B}}{\sin ∡ A D B}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da die Strecken

[B C]

und

[B D]

den Kreissektor

B C D

begrenzen gilt:

\bar{B C} = \bar{B D} = 60, 0 cm

\frac{60}{\sin 120^{\circ}} = \frac{50}{\sin ∡ A D B}

| \cdot \sin ∡ A D B

| \cdot \sin 120^{\circ}

60 \cdot \sin ∡ A D B = 50 \cdot \sin 120^{\circ}

| : 60

\sin ∡ A D B = \frac{50 \cdot \sin 120^{\circ}}{60}

\Rightarrow

∡ A D B = 46, 2^{\circ}

Winkel

∡ D B A

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

∡ D B A = 180^{\circ} - ∡ B A D - ∡ A D B

∡ D B A = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 46, 2^{\circ}

∡ D B A = 13, 8^{\circ}

Strecke

\bar{D A}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

{\bar{D A}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B D}}^{2} - 2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B D} \cdot \cos ∡ D B A

\bar{D A} = \sqrt{{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B D}}^{2} - 2 \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B D} \cdot \cos ∡ D B A}

\bar{D A} = \sqrt{50^{2} + 60^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 60 \cdot \cos 13, 8^{\circ}}

\bar{D A} = 16, 5 cm

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Themen dieser Aufgabe:

Länge einer Strecke

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