Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe P2

Aufgabe P2.1 (3 Punkte)

Berechnen Sie das größtmögliche Winkelmaß

ε

Lösung zu Aufgabe P2.1

Winkel bestimmen

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Gegeben:

\bar{A B} = \bar{B C} = 6

cm,

\bar{A Q} = 6

cm

Der Winkel

ε

wird dann am größten, wenn der Punkt

R_{n}

auf

C

liegt.

Nun betrachtet man das rechtwinklige Dreieck

A C Q

. Der Winkel

A Q C

ist Nebenwinkel des größtmöglichen Winkels

ε

.

Der Winkel

A Q C

lässt sich in diesem Dreieck jedoch erst berechnen, wenn

\bar{A C}

bekannt ist.

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Die Strecken

[A B]

und

[B C]

sind hier die Katheten,

[A C]

ist die Hypothenuse.

{\bar{A C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2}

{\bar{A C}}^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 72

|

\sqrt{}

\Rightarrow

\bar{A C} = 6 \sqrt{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan ∡ A Q C = \frac{\bar{A C}}{\bar{A Q}} = \frac{6 \sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}

|

\tan^{- 1}

∡ A Q C \approx 54, 74^{\circ}

\Rightarrow

ε = 180^{\circ} - 54, 74^{\circ} = 125, 26^{\circ}

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