Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.2 (2 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken

[O P_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{O P_{n}} (φ) = \sqrt{3, 75 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4, 25}

LE.

Lösung zu Aufgabe A2.2

Länge eines Vektors

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\vec{O P_{n}} (φ) = (\begin{matrix} 2 \cdot \cos φ - 2 \\ 0, 5 \cdot \sin φ \end{matrix})

Länge

\bar{O P_{n}} (φ)

des Vektors

\vec{O P_{n}}

bestimmen:

\bar{O P_{n}} (φ) = | \vec{O P_{n}} (φ) |

\bar{O P_{n}} (φ) = | (\begin{matrix} 2 \cdot \cos φ - 2 \\ 0, 5 \cdot \sin φ \end{matrix}) |

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Länge eines Vektors

Die Länge

\bar{a}

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

ist gegeben durch:

\bar{a} = | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\bar{O P_{n}} (φ) = \sqrt{(2 \cdot \cos φ - 2)^{2} + (0, 5 \cdot \sin φ)^{2}}

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Binomische Formel

Zweite binomische Formel:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Die zweite binomische Formel wird auf

(2 \cdot \cos φ - 2)^{2}

angewendet:

(\overset{a}{\overset{︷}{2 \cdot \cos φ}} - \overset{b}{\overset{︷}{2}})^{2} = (2 \cdot \cos φ)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot \cos φ \cdot 2 + 2^{2}

(2 \cdot \cos φ - 2)^{2} = 4 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4

\bar{O P_{n}} (φ) = \sqrt{4 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4 + 0, 25 \cdot \sin^{2} φ}

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Trigonometrischer Pythagoras

\sin^{2} φ

wird durch

1 - \cos^{2} φ

ersetzt, da nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt:

\sin^{2} φ + \cos^{2} φ = 1

\bar{O P_{n}} (φ) = \sqrt{4 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4 + 0, 25 \cdot (1 - \cos^{2} φ)}

\bar{O P_{n}} (φ) = \sqrt{4 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4 + 0, 25 - 0, 25 \cdot \cos^{2} φ}

\Rightarrow \bar{O P_{n}} (φ) = \sqrt{3, 75 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4, 25}

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Lösungen zu:

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Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

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Länge eines Vektors

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