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Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.
Gegeben sind Dreiecke P Q n R mit den Seitenlängen P Q n ¯ = 3 cm und P R ¯ = 8 cm.
Die Winkel Q n P R haben das Maß φ mit φ ∈ ] 0 ∘ ; 90 ∘ [ .

Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Dreieck P Q 1 R für φ = 30 ∘ .

Aufgabe A3.1  (1 Punkt)
Geben Sie die Länge der Strecken [ Q n R ] in Abhängigkeit von φ an.

Aufgabe A3.2  (2 Punkte)
Die Dreiecke P Q n R rotieren um die Gerade P R .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für den Oberflächeninhalt O der entstehenden
Rotationskörper in Abhängigkeit von φ gilt:
O ( φ ) = 3 ⋅ π ⋅ sin φ ( 3 + 73 - 48 ⋅ cos φ ) cm 2 .

Aufgabe A3.3  (2 Punkte)
Die entstehenden Rotationskörper setzen sich jeweils aus zwei Kegeln zusammen.
Berechnen Sie, für welches Winkelmaß φ der Mantelflächeninhalt des Kegels mit der Spitze P einen Anteil von 30 % am Oberflächeninhalt O des entstehenden Rotationskörpers hat.

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