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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe
Aufgabe A3.3  (2 Punkte)
Die entstehenden Rotationskörper setzen sich jeweils aus zwei Kegeln zusammen.
Berechnen Sie, für welches Winkelmaß φ der Mantelflächeninhalt des Kegels mit der Spitze P einen Anteil von 30 % am Oberflächeninhalt O des entstehenden Rotationskörpers hat.
Lösung zu Aufgabe A3.3
Verhältnis von Teilflächen
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Wenn der Mantelflächeninhalt M Kegel mit Spitze  P einen Anteil von 30 % am Oberflächeninhalt O ( φ ) haben soll, dann muss gelten:

M Kegel mit Spitze  P = 30 % ⋅ O ( φ )

⇔

M Kegel mit Spitze  P = 0 , 3 ⋅ O ( φ )


Aus obiger Beziehung muss das Winkelmaß φ bestimmt werden.



Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

M Kegel mit Spitze  P = ( 3 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ sin φ ) cm 2

O ( φ ) = 3 ⋅ π ⋅ sin φ ⋅ ( 3 + 73 - 48 ⋅ cos φ ) cm 2




Winkelmaß φ bestimmen:

M Kegel mit Spitze  P = 0 , 3 ⋅ O ( φ )

3 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ sin φ = 0 , 3 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ sin φ ⋅ ( 3 + 73 - 48 ⋅ cos φ ) | : 0 , 3 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ sin φ

3 0 , 3 = 3 + 73 - 48 ⋅ cos φ | - 3
3 0 , 3 - 3 = + 73 - 48 ⋅ cos φ | Quadrieren

( 3 0 , 3 - 3 ) 2 = 73 - 48 ⋅ cos φ | - 73

( 3 0 , 3 - 3 ) 2 - 73 = - 48 ⋅ cos φ | : ( - 48 )

( 3 0 , 3 - 3 ) 2 - 73 - 48 = cos φ
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ φ = cos - 1 [ ( 3 0 , 3 - 3 ) 2 - 73 - 48 ] = 60 ∘
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Themen dieser Aufgabe:
Verhältnis von Teilflächen
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