Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Ermitteln Sie durch Rechnung, am Ende welchen Jahres voraussichtlich erstmals über

900

Waschbären mehr als im Jahr zuvor registriert werden.

Lösung zu Aufgabe A2.4

Exponentielles Wachstum

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Anzahl der Waschbären nach

x

Jahren:

250 \cdot 1, 27^{x}

Anzahl der Waschbären nach

x - 1

Jahren:

250 \cdot 1, 27^{x - 1}

250 \cdot 1, 27^{x} - 250 \cdot 1, 27^{x - 1} = 900

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Potenzregeln

Hier wird folgende Potenzregel angewendet:

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}

250 \cdot 1, 27^{x} - 250 \cdot 1, 27^{x} \cdot 1, 27^{- 1} = 900

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

Der Term

250 \cdot 1, 27^{x}

wird ausgeklammert.

250 \cdot 1, 27^{x} \cdot (1 - 1, 27^{- 1}) = 900

|

: 250 \cdot (1 - 1, 27^{- 1})

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

1, 27^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{1, 27}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

1, 27^{x} = \frac{900}{250 \cdot (1 - 1, 27^{- 1})}

|

\log_{1, 27}

x = \log_{1, 27} \frac{900}{250 \cdot (1 - 1, 27^{- 1})}

x \approx 11, 84

Schritt einblenden / ausblenden

2012 + 11, 84 = 2023, 84

\Rightarrow

2024

Ende des Jahres 2024 werden voraussichtlich erstmals über 900 Waschbären mehr als im Vorjahr registriert.

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Lösungen zu:

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Exponentielles Wachstum

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