Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.2 (3 Punkte)

Zeigen Sie, dass für das Volumen

V

der Rotationskörper in Abhängigkeit von

φ

gilt:

V (φ) = 9 \cdot π \cdot (11, 25 - \tan^{2} \frac{φ}{2})

cm³.

Lösung zu Aufgabe A3.2

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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Das Volumen des Rotationskörpers berechnet sich aus der Differenz zwischen dem Volumen eines Zylinders mit Radius

r = \bar{M C} = 4, 5

cm und Höhe

h = \bar{A B} = 5

cm und dem eines Kegels mit Radius

r_{1} = \bar{N E_{n}}

und Höhe

h_{1} = \bar{N F} = 3

cm.

V = V_{Zylinder} - V_{Kegel}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Zylinders

Volumen eines Kegels

Ein Zylinder mit Radius

r

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = G \cdot h = r^{2} \cdot π \cdot h

Ein Kegel mit Radius

r

und Höhe

h

, hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

V = π r^{2} h - \frac{1}{3} π r_{1}^{2} h_{1}

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Im rechtwinkligen Dreieck

N E_{n} F

gilt:

\tan \frac{φ}{2} = \frac{\bar{N E_{n}}}{\bar{N F}}

\tan \frac{φ}{2} = \frac{\bar{N E_{n}}}{3}

| \cdot 3

\Rightarrow

\bar{N E_{n}} = 3 \tan \frac{φ}{2}

V = π \cdot (4, 5)^{2} \cdot 5 - \frac{1}{3} π \cdot {(3 \tan \frac{φ}{2})}^{2} \cdot 3

V = π \cdot 101, 25 - π \cdot 9 \tan^{2} \frac{φ}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

9 π

werden ausgeklammert.

V = 9 π \cdot (11, 25 - \tan^{2} \frac{φ}{2})

^{3}

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Lösungen zu:

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