Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt

A_{Δ A B S}

des Dreiecks

A B S

Lösung zu Aufgabe A2.4

Flächeninhalt eines Dreiecks

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

\bar{A M} = 6

cm;

\bar{B M} = 6

cm;

\bar{A S} = 11, 66

cm;

\bar{M S} = 10

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichschenkliges Dreieck

\bar{A S} = \sqrt{6^{2} + 10^{2}} \approx 11, 66

(siehe Teilaufgabe A2.1)

Im rechtwinkligen Dreieck

B M S

gilt nach Pythagoras:

{\bar{B S}}^{2} = {\bar{B M}}^{2} + {\bar{M S}}^{2}

\bar{B S} = \sqrt{6^{2} + 10^{2}} \approx 11, 66

\Rightarrow

\bar{A S} = \bar{B S}

("Schenkel")

Man betrachtet das gleichschenklige Dreieck

A B S

mit Basis

[A B]

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

A_{Δ A B S} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A B} \cdot h_{[A B]}

Zur Berechnung von

\bar{A B}

betrachtet man das rechtwinklige Dreieck

A B M

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

{\bar{A B}}^{2} = {\bar{A M}}^{2} + {\bar{B M}}^{2}

{\bar{A B}}^{2} = 6^{2} + 6^{2}

|

\sqrt{}

\bar{A B} = \sqrt{72} \approx 8, 49

Zur Berechnung von

h_{[A B]}

betrachtet man das Dreieck

A F S

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

{\bar{A S}}^{2} = {(\frac{1}{2} \cdot \bar{A B})}^{2} + h_{[A B]}^{2}

11, 66^{2} = {(\frac{1}{2} \cdot 8, 49)}^{2} + h_{[A B]}^{2}

h_{[A B]}^{2} = 11, 66^{2} - {(\frac{1}{2} \cdot 8, 49)}^{2}

|

\sqrt{}

h_{[A B]} = \sqrt{11, 66^{2} - {(\frac{1}{2} \cdot 8, 49)}^{2}}

h_{[A B]} \approx 10, 86

Für den Flächeninhalt gilt dann:

A_{Δ A B S} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A B} \cdot h_{[A B]}

A_{Δ A B S} = \frac{1}{2} \cdot 8, 49 \cdot 10, 86

A_{Δ A B S} \approx 46, 10

cm²

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Lösungen zu:

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Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

Aufgabe A2.4

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Dreiecks

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