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Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide A B C S , deren Grundfläche das gleichseitige Dreieck A B C ist. Der Fußpunkt T der Pyramidenhöhe [ S T ] teilt die Dreieckshöhe [ M B ] des gleichseitigen Dreiecks A B C im Verhältnis M T ¯ : T B ¯ = 1 : 2 .
Es gilt: M B ¯ = 6 cm; ∡ S B M = 65 ∘ .

In der Zeichnung gilt:
q = 1 2 ; ω = 45 ∘ ; [ M B ] liegt auf der Schrägbildachse.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe A2.1  (1 Punkt)
Berechnen Sie die Länge der Strecke [ S T ] .
[Ergebnis: S T ¯ = 8 , 58 cm]

Aufgabe A2.2  (1 Punkt)
Punkte P n liegen auf der Strecke [ B S ] . Die Winkel B M P n haben das Maß φ mit φ ∈ [ 0 ∘ ; 76 , 88 ∘ ] . Die Punkte P n sind zusammen mit den Punkten A und C die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken A P n C mit der Basis [ A C ] .
Zeichnen Sie das Dreieck A P 1 C für φ = 20 ∘ in das Schrägbild zu 2.0 ein.

Aufgabe A2.3  (2 Punkte)
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [ M P n ] in Abhängigkeit von φ gilt: M P n ¯ ( φ ) = 5 , 44 sin ( φ + 65 ∘ ) cm.

Aufgabe A2.4  (2 Punkte)
Unter den Dreiecken A P n C hat das Dreieck A P 2 C den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks A P 2 C .

Aufgabe A2.5  (3 Punkte)
Die Punkte P n sind für φ ∈ ] 0 ∘ ; 76 , 88 ∘ ] Spitzen von Pyramiden A B C P n mit den Höhen [ P n F n ] , deren Fußpunkte F n auf [ M B ] liegen. Für das Volumen der Pyramide A B C P 3 gilt: V ABCP 3 = 1 2 ⋅ V ABCS . Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .

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