Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.5 (3 Punkte)

Die Punkte

P_{n}

sind für

φ \in] 0^{\circ}; 76, 88^{\circ}]

Spitzen von Pyramiden

A B C P_{n}

mit den Höhen

[P_{n} F_{n}]

, deren Fußpunkte

F_{n}

auf

[M B]

liegen. Für das Volumen der Pyramide

A B C P_{3}

gilt:

V_{{ABCP}_{3}} = \frac{1}{2} \cdot V_{ABCS}

. Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß

φ

Lösung zu Aufgabe A2.5

Volumen einer Pyramide

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Gegeben:

V_{A B C P_{3}} = \frac{1}{2} \cdot V_{A B C S}; \bar{S T} = \frac{2}{3} \cdot \bar{M B} \cdot \tan (65^{\circ})

Gesucht:

φ = ∡ P_{3} M B

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aufgrund der identischen Grundfläche verhalten sich die Volumina der Pyramiden

A B C S

und

A B C P_{3}

zueinander wie die jeweiligen Höhen

\bar{S T}

und

\bar{P_{3} F_{3}}

\bar{P_{3} F_{3}} = \frac{1}{2} \cdot \bar{S T} = \frac{\bar{M B}}{3} \cdot \tan (65^{\circ})

\bar{P_{3} F_{3}} = 4, 29 cm

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Winkel bestimmen

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\frac{\bar{P_{3} F_{3}}}{\bar{F_{3} B}} = \tan (65^{\circ})

| \cdot \frac{\bar{F_{3} B}}{\tan (65^{\circ})}

\bar{F_{3} B} = \frac{\bar{P_{3} F_{3}}}{\tan (65^{\circ})} = \frac{1}{3} \cdot \bar{M B} = 2 cm

\bar{M B} = \bar{M F_{3}} + \bar{F_{3} B}

\bar{M F_{3}} = \bar{M B} - \bar{F_{3} B} = \bar{M B} - \frac{\bar{M B}}{3} = \frac{2}{3} \cdot \bar{M B} = 4 cm

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\frac{\bar{P_{3} F_{3}}}{\bar{M F_{3}}} = \tan (φ)

φ = \tan^{- 1} (\frac{\bar{P_{3} F_{3}}}{\bar{M F_{3}}}) = \tan^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan^{- 1} (65^{\circ})) = \underline{47^{\circ}}

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Lösungen zu:

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Aufgabe A2.2

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Aufgabe A2.5

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

Winkel bestimmen

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