Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.4 (2 Punkte)

Unter den Dreiecken

A P_{n} C

hat das Dreieck

A P_{2} C

den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks

A P_{2} C

Lösung zu Aufgabe A2.4

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{M B} = 6 cm

;

\bar{M P_{n}} (φ) = \frac{5, 44 cm}{\sin (65^{\circ} + φ)}

Gesucht:

A_{A P_{2} C}

, sodass

A_{A P_{2} C}

minimal ist für alle

A_{A P_{n} C}

Schritt einblenden / ausblenden

Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Die Höhe

h

eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge

a

berechnet man mit folgender Formel:

h = \frac{\sqrt{3}}{2} a

Länge der Kante

[A C]

bestimmen:

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \bar{A C} = \bar{M B}

| \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}

\bar{A C} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \bar{M B}

\bar{A C} = 6, 93 cm

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Flächeninhalt

A_{A P_{n} C}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

A_{A P_{n} C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{M P_{n}}

A_{A P_{n} C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \bar{M B}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{5, 44 cm}{\sin (65^{\circ} + φ)}

Extremwertproblem

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A_{A P_{n} C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \bar{M B}}{\sqrt{3}} \cdot \bar{M P_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Umformung

Sinussatz

Laut dem Sinussatz gilt:

\frac{\bar{M P_{n}}}{\sin 65^{\circ}} = \frac{\bar{M B}}{\sin (65^{\circ} + φ)}

| \cdot \sin 65^{\circ}

\bar{M P_{n}} = \frac{\bar{M B} \cdot \sin 65^{\circ}}{\sin (65^{\circ} + φ)}

A_{A P_{n} C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \bar{M B}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\bar{M B} \sin (65^{\circ})}{\sin (65^{\circ} + φ)}

A_{A P_{n} C} = {\bar{M B}}^{2} \cdot \frac{\sin (65^{\circ})}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sin (65^{\circ} + φ)}

Schritt einblenden / ausblenden

Minimum der Funktion

Sinusfunktion

Der Flächeninhalt ist ein Produkt. Dieses wird minimal, wenn die variablen Faktoren minimal werden.

Hier muss also der Quotient

\frac{1}{\sin (65^{\circ} + φ)}

den kleinstmöglichen Wert annehmen. Dies ist der Fall, wenn der Sinus im Nenner maximal wird. Der größte Wert den der Sinus annehmen kann ist

1

. Dies ist der Fall für

+ 90^{\circ}

\frac{1}{\sin (90^{\circ})} = \frac{1}{1} = 1

\Rightarrow A_{A P_{2} C} = {\bar{M B}}^{2} \cdot \frac{\sin (65^{\circ})}{\sqrt{3}} \cdot 1 = {\bar{M B}}^{2} \cdot \frac{\sin (65^{\circ})}{\sqrt{3}}

A_{A P_{2} C} = 36 {cm}^{2} \cdot \frac{0, 91}{1, 73} = 36 {cm}^{2} \cdot 0, 52

A_{A P_{2} C} = \underline{18, 84 {cm}^{2}}

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Länge einer Strecke

Flächeninhalt eines Dreiecks

Extremwertproblem

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