Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.3 (2 Punkte)

Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen

V

der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von

φ

gilt:

V (φ) = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (\frac{64}{\tan φ} - 27 \cdot \tan^{2} φ) {cm}^{3}

Lösung zu Aufgabe A1.3

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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Die Rotation des Trapezes lässt einen kleinen und einen großen Kegel entstehen:

Berechnung der Volumina der beiden Kegel:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Kegels

Ein Kegel mit Radius

r

und Höhe

h

, hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

V_{gr. Kegel} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

V_{gr. Kegel} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {\bar{A_{n} B_{n}}}^{2} \cdot \bar{S A_{n}}

V_{gr. Kegel} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot \frac{4}{\tan φ}

V_{kl. Kegel} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

V_{kl. Kegel} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {\bar{D C_{n}}}^{2} \cdot \bar{S D}

V_{kl. Kegel} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (3 \cdot \tan φ)^{2} \cdot 3

Schritt einblenden / ausblenden

V_{Rotationskörper} = V_{gr. Kegel} - V_{kl. Kegel}

V_{Rotationskörper} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot \frac{4}{\tan φ} - \frac{1}{3} \cdot π \cdot (3 \cdot \tan φ)^{2} \cdot 3

V_{Rotationskörper} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 16 \cdot \frac{4}{\tan φ} - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 9 \cdot \tan^{2} φ \cdot 3

V_{Rotationskörper} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{64}{\tan φ} - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 27 \cdot \tan^{2} φ

V_{Rotationskörper} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot (\frac{64}{\tan φ} - 27 \cdot \tan^{2} φ) {cm}^{2}

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Lösungen zu:

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Aufgabe A1.2

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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