Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.2 (2 Punkte)

Bestimmen Sie die Länge der Strecken

[B_{n} C]

in Abhängigkeit von

α

und vereinfachen Sie mithilfe einer Supplementbeziehung.

Lösung zu Aufgabe A3.2

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{A C} = 4 cm

Gesucht:

\bar{B_{n} C}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

A B_{n} C

gilt somit:

\frac{\bar{B_{n} C}}{\bar{A C}} = \frac{\sin α}{\sin (180^{\circ} - 3 α)}

\frac{\bar{B_{n} C}}{4} = \frac{\sin α}{\sin (180^{\circ} - 3 α)}

Schritt einblenden / ausblenden

Supplementbeziehung

Die Supplementbeziehung

\sin (180^{\circ} - α) = \sin α

angewendet ergibt:

\sin (180^{\circ} - 3 α) = \sin 3 α

\frac{\bar{B_{n} C}}{4} = \frac{\sin α}{\sin (3 α)}

|

\cdot 4

\bar{B_{n} C} = \frac{4 \cdot \sin α}{\sin (3 α)} cm

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