Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.2 (5 Punkte)

Der Graph der Funktion

f

wird durch orthogonale Affinität mit der

x

-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab

k = - 2

und anschließender Parallelverschiebung mit

\vec{v} = (\binom{2}{10})

auf den Graphen zu

f^{,}

abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass man für

f^{,}

die Gleichung

y = - 2 \cdot 1, 5^{x + 1} + 8

erhält und zeichnen Sie den Graphen zu

f^{,}

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Lösung zu Aufgabe A1.2

Orthogonale Affinität

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Gegeben:

k = - 2

\vec{v} = (\binom{2}{10})

f : y = 1, 5^{x + 3} + 1

(\binom{x}{y}) = (\binom{x}{1, 5^{x + 3} + 1})

Schritt einblenden / ausblenden

Orthogonale Affinität

Matrixdarstellung einer orthogonalen Affinität mit der

x

-Achse als Affinitätsachse und einem Affinitätsmaßstab

k

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\binom{x}{y})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix}) \cdot (\binom{x}{1, 5^{x + 3} + 1})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\binom{x}{- 2 \cdot (1, 5^{x + 3} + 1)})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\binom{x}{- 2 \cdot 1, 5^{x + 3} - 2})

Verschiebung um einen Vektor

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(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\binom{x}{- 2 \cdot 1, 5^{x + 3} - 2}) + (\binom{2}{10})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\binom{x + 2}{- 2 \cdot 1, 5^{x + 3} + 8})

x^{'} = x + 2

\Rightarrow

x = x^{'} - 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x = x^{'} - 2

wird in

y^{'}

eingesetzt.

y^{'} = - 2 \cdot 1, 5^{x + 3} + 8

y^{'} = - 2 \cdot 1, 5^{x^{'} - 2 + 3} + 8

y^{'} = - 2 \cdot 1, 5^{x^{'} + 1} + 8

Schritt einblenden / ausblenden

Anstelle von

y^{'}

und

x^{'}

wird

y

und

x

geschrieben.

Nun erhält man die Gleichung der Funktion

f^{'}

f^{'} : y = - 2 \cdot 1, 5^{x + 1} + 8

Skizze

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Orthogonale Affinität

Verschiebung um einen Vektor

Skizze

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