Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.4 (3 Punkte)

Ermitteln Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet, für welche Belegungen für

x

es Rechtecke

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt.

Lösung zu Aufgabe A1.4

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Gegeben:

f : y = 1, 5^{x + 3} + 1

f^{'} : y = - 2 \cdot 1, 5^{x + 1} + 8

Rechtecke

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt es genau dann, so lange die Punkte

C_{n}

und

D_{n}

nicht zusammenfallen. Beim Schnittpunkt von

G_{f}

und

G_{f^{'}}

kann kein Rechteck mehr gebildet werden.

Rechts vom Schnittpunkt der beiden Graphen würden sich die Punkte

C_{n}

und

D_{n}

"vertauschen", da

G_{f}

nach oben und

G_{f^{'}}

nach unten wandert.

Somit existieren Rechtecke

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

nur links vom Schnittpunkt der beiden Graphen.

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Schema für das Bestimmen der

x

-Koordinate der Schnittpunkte zweier Funktionen:

1. Funktionsgleichungen gleich setzen.

2. Gleichung nach

x

auflösen.

1, 5^{x + 3} + 1 = - 2 \cdot 1, 5^{x + 1} + 8

|

- 1 + 2 \cdot 1, 5^{x + 1}

1, 5^{x + 3} + 2 \cdot 1, 5^{x + 1} = 7

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel die verwendet wird:

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

Hier:

1, 5^{x + 3} = 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{3}

1, 5^{x + 1} = 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{1}

1, 5^{x} \cdot 1, 5^{3} + 2 \cdot 1, 5^{x} \cdot 1, 5 = 7

|

Ausklammern

1, 5^{x} \cdot (1, 5^{3} + 2 \cdot 1, 5) = 7

1, 5^{x} \cdot 6, 375 = 7

|

: 6, 375

1, 5^{x} = \frac{7}{6, 375}

|

\log_{1, 5}

Schritt einblenden / ausblenden

Die Exponentialfunktion

1, 5^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{1, 5}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

x = \log_{1, 5} \frac{7}{6, 375}

x \approx 0, 23

\Rightarrow

x \in] - \infty; 0, 23 [

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Schnittpunkt zweier Funktionen

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