Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.5 (4 Punkte)

Unter den Rechtecken

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt es das Quadrat

A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}

.
Berechnen Sie die

x

-Koordinate des Punktes

C_{3}

.
[Teilergebnis:

\bar{D_{n} C_{n}} (x) = (- 6, 375 \cdot 1, 5^{x} + 7)

LE]

Lösung zu Aufgabe A1.5

Länge eines Vektors

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Gegeben:

Punkte

C_{n} (x | 1, 5^{x + 3} + 1)

auf dem Graphen zu

f

Punkte

D_{n} (x | - 2 \cdot 1, 5^{x + 1} + 8)

auf dem Graphen zu

f^{,}

Gesucht:

x

-Koordinate von

C_{3}

Im Quadrat

A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}

gilt:

\bar{A_{3} D_{3}} = \bar{C_{3} D_{3}} = 2

\vec{C_{n} D_{n}} = \vec{D_{n}} - \vec{C_{n}} = (\binom{x}{- 2 \cdot 1, 5^{x + 1} + 8}) - (\binom{x}{1, 5^{x + 3} + 1})

\vec{C_{n} D_{n}} = (\binom{0}{- 2 \cdot 1, 5^{x + 1} - 1, 5^{x + 3} + 7})

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Die Länge

\bar{a}

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

ist gegeben durch:

\bar{a} = | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\bar{C_{n} D_{n}} = \sqrt{{(- 2 \cdot 1, 5^{x + 1} - 1, 5^{x + 3} + 7)}^{2}}

\bar{C_{n} D_{n}} = - 2 \cdot 1, 5^{x + 1} - 1, 5^{x + 3} + 7

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Die Regel die verwendet wird:

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

Hier:

1, 5^{x + 1} = 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{1}

1, 5^{x + 3} = 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{3}

\bar{C_{n} D_{n}} = - 2 \cdot 1, 5^{x} \cdot 1, 5 - 1, 5^{x} \cdot 1, 5^{3} + 7

|

Ausklammern

\bar{C_{n} D_{n}} = 1, 5^{x} \cdot (- 2 \cdot 1, 5 - 1, 5^{3}) + 7

\bar{C_{n} D_{n}} = 1, 5^{x} \cdot (- 6, 375) + 7

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichsetzen

Da im Quadrat alle vier Seiten gleich lang sind, wird

\bar{C_{n} D_{n}} = 2

LE gesetzt.

1, 5^{x} \cdot (- 6, 375) + 7 = 2

|

- 7

1, 5^{x} \cdot (- 6, 375) = - 5

|

: (- 6, 375)

1, 5^{x} = \frac{- 5}{- 6, 375}

|

\log_{1, 5}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

1, 5^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{1, 5}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

x = \log_{1, 5} (\frac{- 5}{- 6, 375})

\Rightarrow

x \approx - 0, 60

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Länge eines Vektors

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