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Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe P2

Aufgabe P2.
Im gleichschenkligen Dreieck  A B C mit der Basislänge A C ¯ = 8 cm ist der Punkt M der Mittelpunkt der Basis [ A C ] und es gilt: M B ¯ = 6 cm.
Das Dreieck A B C ist die Grundfläche der Pyramide A B C S , deren Spitze S senkrecht über dem Punkt M liegt. Der Winkel S B M hat das Maß ε = 60 ∘ .
In der Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 ∘

Aufgabe P2.1  (1 Punkt)
Zeigen Sie, dass für die Höhe M S ¯ der Pyramide A B C S gilt: M S ¯ = 6 3 cm.

Aufgabe P2.2  (1 Punkt)
Punkte P n auf der Kante [ B S ] sind die Spitzen von Pyramiden A B n C P n . Die Punkte B n liegen auf der Verlängerung von [ M B ] über B hinaus. Es gilt: B B n ¯ = P n S ¯ .
Die Winkel P n M S haben das Maß φ ( 0 ≦ φ < 90 ∘ ) .
Zeichnen Sie die Pyramide A B 1 C P 1 für φ = 20 ∘ in die Zeichnung zu 2.0 ein.

Aufgabe P2.3  (2 Punkte)
Es gilt: M B n ¯ = x cm.
Berechnen Sie das Intervall für x ( x ∈ ℝ ) .

Aufgabe P2.4  (1 Punkt)
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Streckenlängen P n S ¯ in Abhängigkeit von φ gilt: P n S ¯ ( φ ) = 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ ) cm.

Aufgabe P2.5  (4 Punkte)
Berechnen Sie das Maß φ so, dass die Grundfläche  A B 2 C der Pyramide  A B 2 C P 2 einen Flächeninhalt von 50 cm² hat.

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