Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.2 (3 Punkte)

Zeigen Sie, dass für das Längenverhältnis der Strecken

[A B_{n}]

und

[A C_{n}]

gilt:

\bar{A B_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \bar{A C_{n}}

.
Bestätigen Sie sodann durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A B_{n} C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

C_{n}

gilt:

A (x) = \frac{1}{4 \sqrt{3}} \cdot (1, 25 x^{2} + 6 x + 36)

Lösung zu Aufgabe A2.2

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

∡ B_{n} A C_{n} = ∡ A C_{n} B_{n} = 30^{\circ}

C_{n} (x | \frac{1}{2} x + 6)

Maß des Winkels

∡ C_{n} B_{n} A

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im Dreieck

A B_{n} C_{n}

gilt also:

∡ C_{n} B_{n} A + ∡ B_{n} A C_{n} + ∡ A C_{n} B_{n} = 180^{\circ}

∡ C_{n} B_{n} A = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}

Länge der Seite

[A B_{n}]

mit dem Sinussatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

A B_{n} C_{n}

gilt somit:

\frac{\bar{A B_{n}}}{\sin ∡ A C_{n} B_{n}} = \frac{\bar{A C_{n}}}{\sin ∡ C_{n} B_{n} A}

\frac{\bar{A B_{n}}}{\sin ∡ A C_{n} B_{n}} = \frac{\bar{A C_{n}}}{\sin ∡ C_{n} B_{n} A}

\frac{\bar{A B_{n}}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\bar{A C_{n}}}{\sin 120^{\circ}} | \cdot \sin 30^{\circ}

\bar{A B_{n}} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 120^{\circ}} \cdot \bar{A C_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Die Sinuswerte können in der Formelsammlung nachgeschlagen werden. Für den Winkel

120^{\circ}

muss der Wert bei

60^{\circ}

abgelesen werden, da die zwei Winkel, die im ersten Quadranten liegen, denselben Sinuswert haben.

\bar{A B_{n}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \bar{A C_{n}}

\Rightarrow \bar{A B_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \bar{A C_{n}}

Länge eines Vektors

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Um den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen zu können, benötigt man die Länge der Seite

[A C_{n}]

. Sie entspricht der Länge des Vektors

\vec{A C_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Vektor

\vec{A C_{n}}

, der die Punkte

A

und

C_{n}

verbindet, hat die Koordinaten:

\vec{A C_{n}} = \underset{"Spitze minus Fuss"}{\underset{︸}{\vec{C_{n}} - \vec{A}}} = (\begin{matrix} x \\ \frac{1}{2} x + 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ \frac{1}{2} x + 6 \end{matrix})

\vec{A C_{n}} = (\begin{matrix} x \\ \frac{1}{2} x + 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge

\bar{a}

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

ist gegeben durch:

\bar{a} = | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\bar{A C_{n}} = \sqrt{x^{2} + {(\frac{1}{2} x + 6)}^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Binomische Formel

Erste binomische Formel:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Die erste binomische Formel wird auf

{(\frac{1}{2} x + 6)}^{2}

angewendet:

{(\frac{1}{2} x + 6)}^{2} = {(\frac{1}{2} x)}^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x \cdot 6 + 6^{2} = \frac{1}{4} x^{2} + 6 x + 36

\bar{A C_{n}} = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} + 6 x + 36}

\Rightarrow \bar{A C_{n}} = \sqrt{1, 25 x^{2} + 6 x + 36}

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Flächeninhalt

A

des Dreiecks

A B_{n} C_{n}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A B_{n}} \cdot \bar{A C_{n}} \cdot \sin ∡ B_{n} A C_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

\bar{A B_{n}}

wird durch

\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \bar{A C_{n}}

ersetzt (siehe Zwischenergebnis dieser Aufgabe).

A = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \bar{A C_{n}} \cdot \bar{A C_{n}} \cdot \sin 30^{\circ}

A = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \bar{A C_{n}} \cdot \bar{A C_{n}} \cdot \frac{1}{2}

A = \frac{1}{4 \sqrt{3}} {\bar{A C_{n}}}^{2}

A = \frac{1}{4 \sqrt{3}} \cdot {(\sqrt{1, 25 x^{2} + 6 x + 36})}^{2}

\Rightarrow A = \frac{1}{4 \sqrt{3}} \cdot (1, 25 x^{2} + 6 x + 36)

Alternative Lösung

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Die Länge der Seite

[A C]

kann auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen werden:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Abszisse

x

und die Ordinate

\frac{1}{2} x + 6

des Punktes

C_{n}

bilden zusammen mit dem Punkt

A

ein rechtwinkliges Dreieck.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt somit:

{\bar{A C_{n}}}^{2} = x^{2} + {(\frac{1}{2} x + 6)}^{2}

{\bar{A C_{n}}}^{2} = x^{2} + {(\frac{1}{2} x + 6)}^{2}

{\bar{A C_{n}}}^{2} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} + 6 x + 36

{\bar{A C_{n}}}^{2} = 1, 25 x^{2} + 6 x + 36

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Lösungen zu:

Aufgabe A2.1

Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

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Themen dieser Aufgabe:

Seite eines Dreiecks bestimmen

Länge eines Vektors

Flächeninhalt eines Dreiecks

Alternative Lösung

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