Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte

B_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

C_{n}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe A2.4

2-dimensionale Geometrie

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C_{n} (x | \frac{1}{2} x + 6) \Rightarrow \vec{C_{n}} = (\binom{x}{y}) = (\binom{x}{\frac{1}{2} x + 6})

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Erläuterung

Durch Drehung der Vektoren

\vec{C_{n}}

um den Winkel

∡ B_{n} A C_{n} = 30^{\circ}

, entstehen Vektoren die in die gleiche Richtung der Vektoren

\vec{B_{n}}

zeigen.

Eine Drehung im Uhrzeigesinn ist eine negative Drehung, deswegen ist hier der Drehwinkel gleich

- 30^{\circ}

Drehen der Vektoren

\vec{C_{n}}

- 30^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Drehmatrix

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} \cos (- 30^{\circ}) & - \sin (- 30^{\circ}) \\ \sin (- 30^{\circ}) & \cos (- 30^{\circ}) \end{matrix}) \circ (\binom{x}{\frac{1}{2} x + 6})

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines negativen Winkels

Kosinus eines negativen Winkels

Für den Sinus und Kosinus eines negativen Winkels, gilt:

\sin (- α) = - \sin α

\cos (- α) = \cos α

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} \cos (30^{\circ}) & \sin (30^{\circ}) \\ - \sin (30^{\circ}) & \cos (30^{\circ}) \end{matrix}) \circ (\binom{x}{\frac{1}{2} x + 6})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}) \circ (\binom{x}{\frac{1}{2} x + 6})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor erfolgt über das Skalarprodukt:

(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix}) \circ (\binom{x}{y}) = (\begin{matrix} a_{1} \cdot x + a_{2} \cdot y \\ a_{3} \cdot x + a_{4} \cdot y \end{matrix})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} x + 6) \\ - \frac{1}{2} \cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{2} x + 6) \end{matrix})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{4} x + 3 \\ - \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4} x + 3 \sqrt{3} \end{matrix})

Strecken der Vektoren:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Um die gedrehten Vektoren

\vec{C_{n}}

auf

\vec{B_{n}}

zu strecken, werden die Vektoren

\vec{C_{n}}

mit dem Faktor

\frac{1}{\sqrt{3}}

multipliziert.

Grund hierfür:

\bar{A B_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \bar{A C_{n}}

(siehe Aufgabe A2.2)

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{4} x + 3 \\ - \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4} x + 3 \sqrt{3} \end{matrix})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} x + \frac{1}{4 \sqrt{3}} x + \frac{3}{\sqrt{3}} \\ - \frac{1}{2 \sqrt{3}} x + \frac{1}{4} x - 3 \end{matrix})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\begin{matrix} 0, 64 \cdot x + 1, 73 \\ - 0, 04 \cdot x + 3 \end{matrix})

\Rightarrow B_{n} (0, 64 \cdot x + 1, 73 | - 0, 04 \cdot x + 3)

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Lösungen zu:

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Aufgabe A2.3

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Themen dieser Aufgabe:

2-dimensionale Geometrie

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