Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.3 (2 Punkte)

Unter den Dreiecken

A B_{n} C_{n}

hat das Dreieck

A B_{0} C_{0}

den minimalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

C_{0}

Lösung zu Aufgabe A2.3

Extremwertaufgabe

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Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

Dreiecke

A B_{n} C_{n}

haben einen, von der Abszisse

x

des Punktes

C_{n}

abhängigen, Flächeninhalt

A (x) = \frac{1}{4 \sqrt{3}} \cdot (1, 25 x^{2} + 6 x + 36) = (\frac{1, 25}{4 \sqrt{3}} x^{2} + \frac{6}{4 \sqrt{3}} x + \frac{36}{4 \sqrt{3}})

FE.

Punkte

C_{n}

haben die Koordinaten

(x | \frac{1}{2} x + 6)

x_{S}

-Koordinate des Scheitelpunktes der Funktion

y = \frac{1, 25}{4 \sqrt{3}} x^{2} + \frac{6}{4 \sqrt{3}} x + \frac{36}{4 \sqrt{3}}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Flächeninhalt des Dreiecks

A_{n} B_{n} C_{n}

ist für verschiedene

x

unterschiedlich groß.

Für einen bestimmten

x

-Wert ist der Flächeninhalt

A (x) = (\frac{1, 25}{4 \sqrt{3}} x^{2} + \frac{6}{4 \sqrt{3}} x + \frac{36}{4 \sqrt{3}})

FE am kleinsten (minimal).

Die Funktion

y = \frac{1, 25}{4 \sqrt{3}} x^{2} + \frac{6}{4 \sqrt{3}} x + \frac{36}{4 \sqrt{3}}

ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Den kleinsten Funktionswert hat sie in ihrem Scheitelpunkt.

Die Koordinaten des Scheitelpunktes

S (x_{S} | y_{S})

einer Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + c

sind gegeben durch:

S (\frac{- b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

x_{S} = \frac{- b}{2 a} = - \frac{\frac{6}{4 \sqrt{3}}}{2 \cdot \frac{1, 25}{4 \sqrt{3}}} = - 2, 4

\Rightarrow

Für

x_{S} = - 2, 4

ist

A (x)

minimal.

\Rightarrow x_{C_{0}} = - 2, 4

\Rightarrow C_{0} (- 2, 4 | \frac{1}{2} \cdot (- 2, 4) + 6)

\Rightarrow C_{0} (- 2, 4 | 4, 8)

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