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Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2

Aufgabe B2.
Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide A B C D S , deren Grundfläche das Drachenviereck A B C D mit der Geraden A C als Symmetrieachse ist.
Die Spitze S der Pyramide A B C D S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M des Drachenvierecks A B C D .
Es gilt: A C ¯ = 12 cm ; B D ¯ = 8 cm ; A M ¯ = 4 cm ; C S ¯ = 10 cm .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B2.1  (4 Punkte)
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide A B C D S , wobei die Strecke [ A C ] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 ∘ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ M S ] und das Maß des Winkels S C M .
[Ergebnisse: M S ¯ = 6 cm ; ∡ S C M = 36 , 87 ∘ ]

Aufgabe B2.2  (2 Punkte)
Der Punkt R ∈ [ M S ] mit M R ¯ = 1 , 5 cm ist der Mittelpunkt der Strecke [ F G ] mit F ∈ [ B S ] und G ∈ [ D S ] . Es gilt: F G ∥ B D .
Zeichnen Sie die Strecke [ F G ] in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ F G ] .
[Ergebnis: F G ¯ = 6 cm]

Aufgabe B2.3  (4 Punkte)
Die Punkte F und G sind zusammen mit dem Punkt E ∈ [ A S ] die Eckpunkte des Dreiecks E F G , wobei gilt: E R ∥ A M .
Zeichnen Sie das Dreieck E F G in das Schrägbild zu 2.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide E F G S am Volumen der Pyramide A B D S .

Aufgabe B2.4  (3 Punkte)
Punkte P n liegen auf der Strecke [ C S ] , wobei die Winkel S P n R das Maß φ haben mit φ ∈ ] 26 , 25 ∘ ; 126 , 87 ∘ [ .
Zeichnen Sie das Dreieck P 1 S R für φ = 100 ∘ in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ R P 1 ] und den Flächeninhalt des Dreiecks P 1 S R .
[Ergebnis: R P 1 ¯ = 3 , 66 cm]

Aufgabe B2.5  (4 Punkte)
Der Abstand des Punktes P 2 von der Geraden A C ist 3 cm.
Zeichnen Sie den Punkt P 2 in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels S P 2 R .

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