Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (3 Punkte)

Punkte

P_{n}

liegen auf der Strecke

[C S]

, wobei die Winkel

S P_{n} R

das Maß

φ

haben mit

φ \in] 26, 25^{\circ}; 126, 87^{\circ} [

.
Zeichnen Sie das Dreieck

P_{1} S R

für

φ = 100^{\circ}

in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke

[R P_{1}]

und den Flächeninhalt des Dreiecks

P_{1} S R

.
[Ergebnis:

\bar{R P_{1}} = 3, 66

cm]

Lösung zu Aufgabe B2.4

Skizze

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Dreieck

P_{1} S R

eintragen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Um den Punkt

P_{1}

präzise markieren zu können, muss der Winkel

∡ P_{1} R S

zuvor bestimmt werden (siehe kommende Berechnungen).

Winkel bestimmen

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Benötigte Angaben aus den vorherigen Teilaufgaben:

∡ S C M = 36, 87^{\circ}

;

\bar{R S} = 4, 5

Im rechtwinkligem Dreieck

C M S

gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Also hat der Winkel

∡ M S C

eine Größe von

180^{\circ} - (90^{\circ} + ∡ S C M)

∡ M S C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + ∡ S C M)

∡ M S C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 36, 87^{\circ})

\Rightarrow

∡ M S C = 53, 13^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Also hat der Winkel

∡ P_{1} R S

eine Größe von

180^{\circ} - (φ + \underset{= ∡ M S C}{\underset{︸}{∡ R S P_{1}}})

Im Dreieck

P_{1} S R

gilt dann:

∡ P_{1} R S = 180^{\circ} - (φ + \underset{= ∡ M S C}{\underset{︸}{∡ R S P_{1}}})

∡ P_{1} R S = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 53, 13)

\Rightarrow

∡ P_{1} R S = 26, 87^{\circ}

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Länge der Seite

[R P_{1}]

mit dem Sinussatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

P_{1} S R

gilt somit:

\frac{\bar{R P_{1}}}{\sin ∡ M S C} = \frac{\bar{R S}}{\sin φ}

\frac{\bar{R P_{1}}}{\sin ∡ M S C} = \frac{\bar{R S}}{\sin φ}

\frac{\bar{R P_{1}}}{\sin 53, 13^{\circ}} = \frac{4, 5}{\sin 100^{\circ}}

|

\cdot \sin 53, 13^{\circ}

\bar{R P_{1}} = \frac{4, 5 \cdot \sin 53, 13^{\circ}}{\sin 100^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{R P_{1}} \approx 3, 66

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Flächeninhalt des Dreiecks

P_{1} S R

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A_{△ P_{1} S R} = \frac{1}{2} \cdot \bar{R S} \cdot \bar{R P_{1}} \cdot \sin ∡ P_{1} R S

A_{△ P_{1} S R} = \frac{1}{2} \cdot 4, 5 \cdot 3, 66 \cdot \sin 26, 87^{\circ}

\Rightarrow

A_{△ P_{1} S R} \approx 3, 72

^{2}

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Lösungen zu:

Aufgabe B2.1

Aufgabe B2.2

Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Winkel bestimmen

Seite eines Dreiecks bestimmen

Flächeninhalt eines Dreiecks

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