Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (4 Punkte)

Der Abstand des Punktes

P_{2}

von der Geraden

A C

ist

3

cm.
Zeichnen Sie den Punkt

P_{2}

in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels

S P_{2} R

Lösung zu Aufgabe B2.5

Skizze

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Seite eines Dreiecks bestimmen

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Benötigte Angaben aus den vorherigen Teilaufgaben:

∡ S C M = 36, 87^{\circ}

;

\bar{S C} = 10

cm ;

\bar{R S} = 4, 5

cm

Länge der Strecke $[P_{2} C]$

Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck

P_{2} H C

(

H

ist der Fußpunkt eines Lotes auf

[M C]

durch

P_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\sin ∡ S C M = \frac{\bar{P_{2} H}}{\bar{P_{2} C}}

\Rightarrow

\bar{P_{2} C} = \frac{\bar{P_{2} H}}{\sin ∡ S C M}

\bar{P_{2} C} = \frac{3}{\sin 36, 87^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{P_{2} C} = 5

cm

Länge der Strecke $[S P_{2}]$ :

\bar{S P_{2}} = \bar{S C} - \bar{P_{2} C}

\Rightarrow

\bar{S P_{2}} = 10 - 5 = 5

cm

Länge der Strecke $[R P_{2}]$ :

Betrachtet wird das Dreieck

S R P_{2}

Länge der Strecke

[R P_{2}]

mit dem Kosinussatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

{\bar{R P_{2}}}^{2} = {\bar{R S}}^{2} + {\bar{S P_{2}}}^{2} - 2 \cdot \bar{R S} \cdot \bar{S P_{2}} \cdot \cos \underset{∡ M S C}{\underset{︸}{∡ R S P_{2}}}

\bar{R P_{2}} = \sqrt{4, 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4, 5 \cdot 5 \cdot \cos 53, 13^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{R P_{2}} \approx 4, 27

Winkel bestimmen

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Winkel

∡ S P_{2} R

mit dem Sinussatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

R S P_{2}

gilt somit:

\frac{\bar{R S}}{\sin ∡ S P_{2} R} = \frac{\bar{R P_{2}}}{\sin ∡ R S P_{2}}

\frac{\bar{R S}}{\sin ∡ S P_{2} R} = \frac{\bar{R P_{2}}}{\sin ∡ R S P_{2}}

\frac{4, 5}{\sin ∡ S P_{2} R} = \frac{4, 27}{\sin 53, 13^{\circ}}

\sin ∡ S P_{2} R = \frac{4, 5 \cdot \sin 53, 13^{\circ}}{4, 27}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel berechnen

Um den Winkel

∡ S P_{2} R

aus

\sin ∡ S P_{2} R = \frac{4, 5 \cdot \sin 53, 13^{\circ}}{4, 27}

zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:

TR:

\frac{4, 5 \cdot \sin 53, 13^{\circ}}{4, 27}

\to

SHIFT

\to

\sin

∡ S P_{2} R = \sin^{- 1} (\frac{4, 5 \cdot \sin 53, 13^{\circ}}{4, 27})

\Rightarrow

∡ S P_{2} R \approx 57, 47^{\circ}

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