Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.3 (4 Punkte)

Die Punkte

F

und

G

sind zusammen mit dem Punkt

E \in [A S]

die Eckpunkte des Dreiecks

E F G

, wobei gilt:

E R ∥ A M

.
Zeichnen Sie das Dreieck

E F G

in das Schrägbild zu 2.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide

E F G S

am Volumen der Pyramide

A B D S

Lösung zu Aufgabe B2.3

Skizze

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Seite eines Dreiecks bestimmen

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Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

\bar{A M} = 4

cm ;

\bar{M S} = 6

cm ;

\bar{R S} = 4, 5

Länge der Seite

[E R]

mit dem Vierstreckensatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vierstreckensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen:

1.

\frac{\bar{Z A}}{\bar{Z A^{'}}} = \frac{\bar{Z B}}{\bar{Z B^{'}}}

und

\frac{\bar{Z A}}{\bar{A A^{'}}} = \frac{\bar{Z B}}{\bar{B B^{'}}}

\frac{\bar{A B}}{\bar{A^{'} B^{'}}} = \frac{\bar{Z A}}{\bar{Z A^{'}}}

bzw.

\frac{\bar{A B}}{\bar{A^{'} B^{'}}} = \frac{\bar{Z B}}{\bar{Z B^{'}}}

In diesem Fall (wenn

S

der Punkt ist, aus dem der Strahl kommt) gilt nach 2):

\frac{\bar{E R}}{\bar{R S}} = \frac{\bar{A M}}{\bar{M S}}

\frac{\bar{E R}}{\bar{R S}} = \frac{\bar{A M}}{\bar{M S}}

\frac{\bar{E R}}{4, 5} = \frac{4}{6}

|

\cdot 4, 5

\bar{E R} = \frac{4}{6} \cdot 4, 5

\Rightarrow

\bar{E R} = 3

Volumen einer Pyramide

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Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

\bar{F G} = 6

Volumen der Pyramide

E F G S

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

In diesem Fall ist das gleichschenklige Dreieck

E F G

die Grundfläche und die Strecke

[R S]

die Höhe der Pyramide

E F G S

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{E F G S} = \frac{1}{3} \cdot \underset{G}{\underset{︸}{\frac{1}{2} \cdot \bar{F G} \cdot \bar{E R}}} \cdot \underset{h}{\underset{︸}{\bar{R S}}}

V_{E F G S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot 4, 5

\Rightarrow

V_{E F G S} = 13, 5

^{3}

Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

\bar{B D} = 8

Volumen der Pyramide

A B D S

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

In diesem Fall ist das gleichschenklige (

A B C D

ist ein Drachenviereck) Dreieck

A B D

die Grundfläche und die Strecke

[M S]

die Höhe der Pyramide

A B D S

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{A B D S} = \frac{1}{3} \cdot \underset{G}{\underset{︸}{\frac{1}{2} \cdot \bar{B D} \cdot \bar{A M}}} \cdot \underset{h}{\underset{︸}{\bar{M S}}}

V_{A B D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot 6

\Rightarrow

V_{A B D S} = 32

^{3}

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

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Prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide

E F G S

am Volumen der Pyramide

A B D S

bestimmen:

\frac{V_{E F G S}}{V_{A B D S}} = \frac{13, 5 {cm}^{3}}{32 {cm}^{3}} \approx 0, 42

\Rightarrow

Der Anteil beträgt ca.

42 %

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Lösungen zu:

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Aufgabe B2.2

Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

Aufgabe B2.5

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Seite eines Dreiecks bestimmen

Volumen einer Pyramide

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

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