Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Parabel

p

mit der Gleichung

y = - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)^{2} + 12

(G = ℝ \times ℝ)

der Trägergraph der Punkte

Q_{n}

ist.

Lösung zu Aufgabe A2.4

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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Gegeben:

Q_{n} (3 + 4 \cdot \sin φ | 4 + 8 \cdot \cos^{2} φ)

Gesucht:

Trägergraph

p : y =

Schritt einblenden / ausblenden

Trägergraphen

Die

x

-Koordinate

3 + 4 \cdot \sin φ

von

Q_{n}

wird nach

\sin φ

aufgelöst.

Anschließend wird der Term in die

y

-Koordinate von

Q_{n}

eingesetzt.

x^{,} = 3 + 4 \cdot \sin φ

|

- 3

x^{,} - 3 = 4 \cdot \sin φ

|

: 4

\frac{x^{,} - 3}{4} = \sin φ

y

-Koordinate von

Q_{n}

y^{,} = 4 + 8 \cdot \cos^{2} φ

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\Rightarrow

\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x

y^{,} = 4 + 8 \cdot (1 - \sin^{2} φ)

y^{,} = 4 + 8 \cdot (1 - {(\frac{x^{,} - 3}{4})}^{2})

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

{(\frac{x^{,} - 3}{4})}^{2}

kann mit Hilfe der Potenzregel

{(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}

umgewandelt werden.

y^{,} = 4 + 8 \cdot (1 - \frac{(x^{,} - 3)^{2}}{4^{2}})

y^{,} = 4 + 8 - 8 \cdot \frac{(x^{,} - 3)^{2}}{16}

y^{,} = 12 - \frac{1}{2} \cdot (x^{,} - 3)^{2}

\Rightarrow

p : y = - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)^{2} + 12

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Themen dieser Aufgabe:

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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