Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B1

Aufgabe B1.

Die Parabel

p

verläuft durch die Punkte

P (- 5 | - 19)

und

Q (7 | 5)

. Sie hat eine Gleichung der Form

y = - 0, 25 x^{2} + b x + c

mit

G = ℝ \times ℝ

und

b, c \in ℝ

. Die Gerade

g

ist festgelegt durch die Punkte

R (0 | 2, 5)

und

S (5 | 0)

Aufgabe B1.1 (5 Punkte)

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für

b

und

c

, dass die Parabel

p

die Gleichung

y = - 0, 25 x^{2} + 2, 5 x - 0, 25

hat und bestimmen Sie die Gleichung der Geraden

g

. Zeichnen Sie sodann die Parabel

p

für

x \in [0; 12]

und die Gerade

g

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:

Längeneinheit 1 cm;

- 1 ≦ x ≦ 14

;

- 7 ≦ y ≦ 7

Aufgabe B1.2 (2 Punkte)

Punkte

A_{n} (x | - 0, 5 x + 2, 5)

auf der Geraden

g

und Punkte

D_{n} (x | - 0, 25 x^{2} + 2, 5 x - 0, 25)

auf der Parabel

p

haben dieselbe Abszisse

x

und sind zusammen mit Punkten

B_{n}

und

C_{n}

die Eckpunkte von Trapezen

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

.
Es gilt:

[A_{n} B_{n}] ∥ [C_{n} D_{n}]

;

∡ B_{n} A_{n} D_{n} = 90^{\circ}

;

x_{A_{n}} < x_{B_{n}}

;

\bar{A_{n} B_{n}} = 4

LE und

\bar{C_{n} D_{n}} = 2

LE.
Zeichnen Sie die Trapeze

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

für

x = 2

und

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

für

x = 9

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein

Aufgabe B1.3 (2 Punkte)

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt

A

der Trapeze

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

gilt:

A (x) = (- 0, 75 x^{2} + 9 x - 8, 25)

Aufgabe B1.4 (2 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von

x

es Trapeze

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt.

Aufgabe B1.5 (2 Punkte)

Unter den Trapezen

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

besitzt das Trapez

A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}

den maximalen Flächeninhalt.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapezes

A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}

und den zugehörigen Wert für

x

Aufgabe B1.6 (4 Punkte)

Bestimmen Sie im Trapez

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

aus Aufgabe 1.2 rechnerisch das Maß des Winkels

∡ C_{2} B_{2} A_{2}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Begründen Sie sodann, dass es kein Trapez

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt, für das gilt:

∡ C_{n} B_{n} A_{n} = 75^{\circ}

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