Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B1

Aufgabe B1.6 (4 Punkte)

Bestimmen Sie im Trapez

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

aus Aufgabe 1.2 rechnerisch das Maß des Winkels

∡ C_{2} B_{2} A_{2}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Begründen Sie sodann, dass es kein Trapez

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt, für das gilt:

∡ C_{n} B_{n} A_{n} = 75^{\circ}

Lösung zu Aufgabe B1.6

Winkel bestimmen

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Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck

F_{2} B_{2} C_{2}

. Es gilt:

\bar{F_{2} B_{2}} = 2

\begin{matrix} \bar{C_{2} F_{2}} & = & \bar{A_{2} D_{2}} \\ = & p (9) - g (9) \\ = & - 0, 25 \cdot 9^{2} + 3 \cdot 9 - 2, 75 \\ = & 4 LE \end{matrix}

\tan ∡ C_{2} B_{2} A_{2} = \frac{\bar{C_{2} F_{2}}}{\bar{F_{2} B_{2}}} = \frac{4}{2} = 2

∡ C_{2} B_{2} A_{2} = \tan^{- 1} (2) \approx 63, 43^{\circ}

Extremwertaufgabe

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Überlegung:

Der größtmögliche Winkel befindet sich im Trapez

A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}

, da die Höhe

\bar{C_{0} F_{0}}

des Dreiecks

F_{0} B_{0} C_{0}

die längste Höhe aller Dreiecke

F_{n} B_{n} C_{n}

ist.

\begin{matrix} \bar{C_{0} F_{0}} & = & \bar{A_{0} D_{0}} \\ = & p (6) - g (6) \\ = & - 0, 25 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6 - 2, 75 \\ = & 6, 25 LE \end{matrix}

\tan ∡ C_{0} B_{0} A_{0} = \frac{\bar{A_{0} D_{0}}}{\bar{F_{0} B_{0}}} = \frac{6, 25}{2} = 2

∡ C_{0} B_{0} A_{0} = \tan^{- 1} (2) \approx 72, 26^{\circ} < 75^{\circ}

\Rightarrow

Es gibt kein Trapez dessen Winkel

C_{n} B_{n} A_{n}

größer als

75^{\circ}

ist.

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