Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.2 (2 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken

[A_{n} B_{n}]

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

gilt:

\bar{A_{n} B_{n}} (x) = (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) LE

Lösung zu Aufgabe A3.2

Länge einer Strecke

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Gegeben:

A_{n} (x | 4 \cdot 0, 5^{x})

und

B_{n} (x | 4 \cdot 0, 5^{x + 2} - 3)

Gesucht:

\bar{A_{n} B_{n}} (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da die Strecken

[A_{n} B_{n}]

parallel zur

y

- Achse verlaufen, kann

\bar{A_{n} B_{n}}

berechnet werden, indem

y_{A_{n}} - y_{B_{n}}

berechnet wird.

Es gilt also:

\bar{A_{n} B_{n}} = y_{A_{n}} - y_{B_{n}}

\bar{A_{n} B_{n}} = y_{A_{n}} - y_{B_{n}}

\bar{A_{n} B_{n}} = 4 \cdot 0, 5^{x} - (4 \cdot 0, 5^{x + 2} - 3)

\bar{A_{n} B_{n}} = 4 \cdot 0, 5^{x} - 4 \cdot 0, 5^{x + 2} + 3

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregel

Es gilt:

a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}

für alle

a \in ℝ

In unserem Fall:

0, 5^{x + 2} = 0, 5^{x} \cdot 0, 5^{2}

\bar{A_{n} B_{n}} = 4 \cdot 0, 5^{x} - 4 \cdot 0, 5^{x} \cdot 0, 5^{2} + 3

\bar{A_{n} B_{n}} = 4 \cdot 0, 5^{x} - 4 \cdot 0, 5^{x} \cdot 0, 25 + 3

\bar{A_{n} B_{n}} = 4 \cdot 0, 5^{x} - 1 \cdot 0, 5^{x} + 3

\bar{A_{n} B_{n}} = 3 \cdot 0, 5^{x} + 3

\Rightarrow \bar{A_{n} B_{n}} (x) = (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) LE

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