Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe A3

Aufgabe A3.3 (2 Punkte)

Das Dreieck

A_{2} B_{2} C_{2}

hat einen Flächeninhalt von 15 FE.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für

x

Lösung zu Aufgabe A3.3

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Gegeben:

\bar{A_{n} B_{n}} = (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) LE

und

\bar{M_{n} C_{n}} = 3 LE

Gesucht: Flächeninhalt

A

des Dreiecks

A_{2} B_{2} C_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

In unserem Fall ergibt sich somit der folgende Ansatz:

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot \bar{M_{n} C_{n}}

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot \bar{M_{n} C_{n}}

A = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) \cdot 3

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichsetzen

Da der Flächeninhalt

A_{A_{2} B_{2} C_{2}} = 15 FE

beträgt, gilt:

\frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) \cdot 3 = 15

Anschließend wird nach

x

aufgelöst.

\frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) \cdot 3 = 15

|

: 3

\frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 0, 5^{x} + 3) = 5

| \cdot 2

3 \cdot 0, 5^{x} + 3 = 10

| - 3

3 \cdot 0, 5^{x} = 7

| : 3

0, 5^{x} = \frac{7}{3}

| \log_{0, 5}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

0, 5^{x}

kann durch den Logarithmus

\log 0, 5

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

x = \log_{0, 5} \frac{7}{3}

x \approx - 1, 22

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Flächeninhalt eines Dreiecks

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