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Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.
Die Diagonalen [ A C ] und [ B D ] des Drachenvierecks A B C D schneiden sich im Punkt K . Das Drachenviereck A B C D ist die Grundfläche des geraden Prismas A B C D E F G H . Der Punkt E liegt senkrecht über dem Punkt A .
Es gilt:
A C ¯ = 12  cm ; B D ¯ = 10  cm ; A K ¯ = 4  cm ; A E ¯ = 6  cm .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B2.1  (3 Punkte)
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas A B C D E F G H , wobei [ A C ] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.
Für die Zeichnung: p = 1 2 ; ω = 45 ∘
Die Strecken [ E G ] und [ F H ] und schneiden sich im Punkt L .
Berechnen Sie das Maß des Winkels L C K . [ Ergebnis:  ∡ L C K = 36 , 87 ∘ ]

Aufgabe B2.2  (3 Punkte)
Punkte P n liegen auf der Strecke [ L C ] . Die Winkel C K P n haben das Maß mit φ ∈ ] 0 ∘ , 90 ∘ ] . Die Punkte P n sind zusammen mit den Punkten B und D die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke B D P n mit der Basis [ B D ] .
Zeichnen Sie das Dreieck B D P 1 sowie die Strecke [ K P 1 ] für φ = 78 ∘ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke B D P n gleichseitig ist.

Aufgabe B2.3  (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [ K P n ] in Abhängigkeit von φ gilt:
K P n ¯ ( φ ) = 4 , 80 sin ( φ + 36 , 87 ∘ )  cm .
Die Länge der Strecke [ K P 0 ] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ an.

Aufgabe B2.4  (3 Punkte)
Die Punkte P n sind die Spitzen von Pyramiden A B C D P n mit der Grundfläche A B C D und den Höhen [ P n Q n ] . Die Punkte Q n liegen auf der Strecke [ K C ] .
Zeichnen Sie die Pyramide A B C D P 1 und die Höhe [ P 1 Q 1 ] in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen V der Pyramiden A B C D P n in Abhängigkeit von φ .

[ Ergebnis:  V ( φ ) = 96 ⋅ sin φ sin ( φ + 36 , 87 ∘ )  cm 3 ]

Aufgabe B2.5  (3 Punkte)
Das Volumen der Pyramide A B C D P 2 beträgt 96  cm 3 .
Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ .

Aufgabe B2.6  (2 Punkte)
Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden A B D P n mit der Grundfläche A B D und der Pyramiden B C D P n mit der Grundfläche B C D stets im Verhältnis 1 : 2 stehen.

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