Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.3 (3 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken

[K P_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{K P_{n}} (φ) = \frac{4, 80}{\sin (φ + 36, 87^{\circ})} cm

.
Die Länge der Strecke

[K P_{0}]

ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für

φ

an.

Lösung zu Aufgabe B2.3

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{K C} = 8 cm

und

∡ L C K = 36, 87^{\circ}

Gesucht:

\bar{K P_{n}} (φ)

Man betrachte das Dreieck

K C P_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

K C P_{n}

gilt somit:

\frac{\bar{K P_{n}}}{\bar{K C}} = \frac{\sin ∡ L C K}{\sin ∡ K P_{n} C}

\frac{\bar{K P_{n}}}{\bar{K C}} = \frac{\sin ∡ L C K}{\sin ∡ K P_{n} C}

\frac{\bar{K P_{n}}}{8} = \frac{\sin 36, 87^{\circ}}{\sin (180^{\circ} - (φ + 36, 87^{\circ}))}

| \cdot 8

\bar{K P_{n}} = \frac{8 \cdot \sin 36, 87^{\circ}}{\sin (180^{\circ} - (φ + 36, 87^{\circ}))}

\bar{K P_{n}} = \frac{4, 80}{\sin (180^{\circ} - (φ + 36, 87^{\circ}))}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

\sin (180^{\circ} - α) = \sin α

Hier:

\sin (180^{\circ} - \underset{α}{\underset{︸}{(φ + 36, 87^{\circ})}}) = \sin (φ + 36, 87^{\circ})

\bar{K P_{n}} = \frac{4, 80}{\sin (φ + 36, 87^{\circ})} cm

Nun soll der Winkel

φ

angegeben werden, für den die Strecke

[K P_{0}]

minimal ist.

Gegeben:

\bar{K P_{n}} = \frac{4, 80}{\sin (φ + 36, 87^{\circ})} cm

Schritt einblenden / ausblenden

Die Strecke

\bar{K P_{n}}

besteht aus einem Quotienten. Ein Quotient wird minimal, wenn der Nenner maximal wird.

Hier muss also der Quotient

\frac{4, 80}{\sin (φ + 36, 87^{\circ})}

den kleinstmöglichen Wert annehmen. Dies ist der Fall, wenn der Sinus im Nenner maximal wird. Der größte Wert den der Sinus annehmen kann ist

1

. Dies ist der Fall für

+ 90^{\circ}

90^{\circ} = φ_{0} + 36, 87^{\circ} | - 36, 87

φ_{0} = 53, 13^{\circ}

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