Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.3 (4 Punkte)

Um die optimale Wirksamkeit des Medikaments zu erreichen, darf die Masse des Medikaments im Körper

1, 5

mg nicht unterschreiten und

8

mg nicht überschreiten.
Berechnen Sie die Uhrzeiten auf Minuten genau, zu denen die nächste Verabreichung von ebenfalls

5, 0

mg frühestens oder spätestens erfolgen muss.

Lösung zu Aufgabe A1.3

Exponentielles Wachstum

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Gegeben:

y = 5, 0 \cdot 10^{- 0, 07572 \cdot x}

;

y_{min} = 1, 5

mg;

y_{max} = 8

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

y = 1, 5

wird in

y = 5, 0 \cdot 10^{- 0, 07572 \cdot x}

eingesetzt.

Anschließend wird die Gleichung nach

x

aufgelöst.

Dann erhält man die Anzahl der Stunden, nach denen die Menge des Medikaments die Untergrenze von

1, 5

mg erreicht.

1, 5 = 5, 0 \cdot 10^{- 0, 07572 \cdot x}

|

: 5, 0

\frac{1, 5}{5, 0} = 10^{- 0, 07572 \cdot x}

|

\log_{10}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

10^{- 0, 07572 \cdot x}

kann durch den Logarithmus

\log_{10}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

\log_{10} \frac{1, 5}{5, 0} = - 0, 07572 \cdot x

|

: (- 0, 07572)

x = \frac{\log_{10} \frac{1, 5}{5, 0}}{- 0, 07572} \approx 6, 91

Umrechnung in Minuten:

0, 91

Stunden sind

0, 91 \cdot 60 \approx 55

Minuten

\Rightarrow

6, 91

Stunden sind

6

Stunden und

55

Minuten

Zur Startzeit um 8 Uhr werden nun 6 Stunden und 55 Minuten addiert.

Antwort:
Spätestens um 14:55 Uhr muss das Medikament verabreicht werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Da die Maximalmenge

8

mg beträgt, dürfen erst wieder

5

mg hinzugegeben werden, wenn nur noch

3

mg des Medikaments im Körper sind.

Deshalb wird

y = 3

y = 5, 0 \cdot 10^{- 0, 07572 \cdot x}

eingesetzt.

Anschließend wird die Gleichung nach

x

aufgelöst.

Dann erhält man die Anzahl der Stunden, nach denen das Medikament frühestens verabreicht werden darf.

3 = 5, 0 \cdot 10^{- 0, 07572 \cdot x}

|

: 5, 0

\frac{3}{5} = 10^{- 0, 07572 \cdot x}

|

\log_{10}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

10^{- 0, 07572 \cdot x}

kann durch den Logarithmus

\log_{10}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

\log_{10} \frac{3}{5} = - 0, 07572 \cdot x

|

: (- 0, 07572)

x = \frac{\log_{10} \frac{3}{5}}{- 0, 07572} \approx 2, 93

Umrechnung in Minuten:

0, 93

Stunden sind

0, 93 \cdot 60 \approx 56

Minuten

\Rightarrow

2, 93

Stunden sind

2

Stunden und

56

Minuten

Zur Startzeit um 8 Uhr werden nun 2 Stunden und 56 Minuten addiert.

Antwort:
Frühestens um 10:56 Uhr kann das Medikament verabreicht werden.

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Lösungen zu:

Aufgabe A1.1

Aufgabe A1.2

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Aufgabe A1.5

Aufgabe A1.6

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Themen dieser Aufgabe:

Exponentielles Wachstum

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