Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.2 (4 Punkte)

Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte

D_{n}

in Abhängigkeit von

α

und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen

t

der Punkte

D_{n}

an.
[Teilergebnis:

D_{n} (7, 5 \cos α + 1 | 5, 75)

]

Lösung zu Aufgabe B2.2

Koordinaten von Punkten ermitteln

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

B (5 | - 1)

C_{n} (6 \cos α + 4, 5 | - 3 \cos α + 6)

\bar{C_{n} D_{n}} = \frac{1}{2} \cdot \bar{B C_{n}}

Gesucht:

D_{n}

Vorüberlegung: Wie kommt man von

B

nach

D_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Drehmatrix

Die Punkte

D_{n}

erhält man durch Drehung von

\vec{C_{n} B}

C_{n}

mit dem Drehwinkel

- 90^{\circ}

(Drehung im Uhrzeigersinn) und dem Streckungsfaktor

\frac{1}{2}

.

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

\vec{C_{n} B} = \vec{B} - \vec{C_{n}}

= (\binom{5}{- 1}) - (\binom{6 \cos α + 4, 5}{- 3 \cos α + 6})

=

(\binom{- 6 \cos α + 0, 5}{3 \cos α - 7})

Drehung um

- 90^{\circ}

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \cos (- 90^{\circ}) & - \sin (- 90^{\circ}) \\ \sin (- 90^{\circ}) & \cos (- 90^{\circ}) \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} - 6 \cos α + 0, 5 \\ 3 \cos α - 7 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinus eines negativen Winkels

Sinus eines negativen Winkels

Sinus eines negativen Winkels:

\sin (- x) = - \sin x

Kosinus eines negativen Winkels:

\cos (- x) = \cos x

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ - \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} - 6 \cos α + 0, 5 \\ 3 \cos α - 7 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} - 6 \cos α + 0, 5 \\ 3 \cos α - 7 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 \cos α - 7 \\ 6 \cos α - 0, 5 \end{matrix})

Streckung mit dem Faktor

\frac{1}{2}

(\begin{matrix} x^{''} \\ y^{''} \end{matrix})

= \frac{1}{2} \cdot

(\begin{matrix} 3 \cos α - 7 \\ 6 \cos α - 0, 5 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1, 5 \cos α - 3, 5 \\ 3 \cos α - 0, 25 \end{matrix})

Da nicht um den Ursprung gedreht wurde, muss noch das Drehzentrum

C_{n}

aufaddiert werden:

(\begin{matrix} x^{'''} \\ y^{'''} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 1, 5 \cos α - 3, 5 \\ 3 \cos α - 0, 25 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} 6 \cos α + 4, 5 \\ - 3 \cos α + 6 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 7, 5 \cos α + 1 \\ 5, 75 \end{matrix})

\Rightarrow

D_{n} (7, 5 \cos α + 1 | 5, 75)

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Da der

y

-Wert von

D_{n}

die Konstante

5, 75

ist, lautet die Gleichung für den Trägergraphen:

t : y = 5, 75

Alle Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben

Lösungen zu:

Aufgabe B2.1

Aufgabe B2.2

Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

Aufgabe B2.5

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Koordinaten von Punkten ermitteln

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!