Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.3 (4 Punkte)

Bei den Vierecken

A B C_{3} D_{3}

und

A B C_{4} D_{4}

sind die Seiten

[A D_{3}]

bzw.

[A D_{4}]

50 %

länger als die Seite

[A B]

.
Berechnen Sie die zugehörigen Werte für

α

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

Lösung zu Aufgabe B2.3

Winkel bestimmen

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Gegeben:

A (0 | 0)

B (5 | - 1)

D_{n} (7, 5 \cos α + 1 | 5, 75)

Da die Seiten

[A D_{3}]

bzw.

[A D_{4}]

50 %

länger als die Seite

[A B]

sind, gilt:

\bar{A D_{n}} = 1, 5 \cdot \bar{A B}

\vec{A D_{n}} = (\binom{7, 5 \cos α + 1}{5, 75}) - (\binom{0}{0}) = (\binom{7, 5 \cos α + 1}{5, 75})

\vec{A B} = (\binom{5}{- 1}) - (\binom{0}{0}) = (\binom{5}{- 1})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Länge eines Vektors

Die Länge

\bar{a}

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

ist gegeben durch:

\bar{a} = | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\bar{A D_{n}} = \sqrt{(7, 5 \cos α + 1)^{2} + 5, 75^{2}}

\bar{A B} = \sqrt{5^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{26}

\bar{A D_{n}} = 1, 5 \cdot \bar{A B}

\sqrt{(7, 5 \cos α + 1)^{2} + 5, 75^{2}} = 1, 5 \cdot \sqrt{26}

|

Quadrieren

(7, 5 \cos α + 1)^{2} + 5, 75^{2} = 1, 5^{2} \cdot 26

|

- 5, 75^{2}

(7, 5 \cos α + 1)^{2} = 58, 5 - 5, 75^{2}

|

\sqrt{}

7, 5 \cos α + 1 = \pm \sqrt{58, 5 - 5, 75^{2}}

|

- 1

7, 5 \cos α = \pm \sqrt{58, 5 - 5, 75^{2}} - 1

|

: 7, 5

\cos α = \frac{\pm \sqrt{58, 5 - 5, 75^{2}} - 1}{7, 5}

|

\cos^{- 1}

\Rightarrow

α_{1} = 57, 37^{\circ}

α_{2} = 143, 69^{\circ}

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