Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A1

Aufgabe A1.

Die Gerade

g

hat die Gleichung

y = \frac{1}{2} x - 1

mit

G = ℝ \times ℝ

. Die Punkte

P (0 | - 1)

und

Q (5, 5 | 1, 75)

sind die Schnittpunkte der Geraden

g

mit einer nach unten geöffneten Normalparabel

p

Aufgabe A1.1 (5 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel

p

sowie die Koordinaten des Scheitelpunktes

S

.
Zeichnen Sie sodann die Parabel

p

und die Gerade

g

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:

Längeneinheit 1 cm;

- 6 ≦ x ≦ 7

;

- 3 ≦ y ≦ 11

[Teilergebnis:

p : y = - x^{2} + 6 x - 1

]

Aufgabe A1.2 (2 Punkte)

Punkte

A_{n} (x | \frac{1}{2} x - 1)

auf der Geraden

g

und Punkte

B_{n} (x | - x^{2} + 6 x - 1)

auf der Parabel

p

mit

0 < x < 5, 5

(x \in ℝ)

haben jeweils dieselbe Abszisse

x

und sind zusammen mit Punkten

C_{n}

die Eckpunkte von Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

. Die Winkel

C_{n} B_{n} A_{n}

besitzen stets das Maß

β = 120^{\circ}

und für die Seiten

[B_{n} C_{n}]

gilt:

\bar{B_{n} C_{n}} = 6

LE.
Zeichnen Sie die Dreiecke

A_{1} B_{1} C_{1}

für

x = 0, 5

und

A_{2} B_{2} C_{2}

für

x = 4

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Aufgabe A1.3 (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für alle Vektoren

\vec{B_{n} C_{n}}

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt:

\vec{B_{n} C_{n}} = (\binom{- 5, 20}{3})

.
Berechnen Sie sodann die Koordinaten des Punktes

C_{3}

des Dreiecks

A_{3} B_{3} C_{3}

für

x = 1, 5

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Aufgabe A1.4 (4 Punkte)

Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet den Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A_{n} B_{n} C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

.
Überprüfen Sie sodann, ob es unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von

22

FE gibt.
[Teilergebnis:

A (x) = 2, 60 \cdot (- x^{2} + 5, 5 x)

FE]

Aufgabe A1.5 (2 Punkte)

Unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

gibt es die Dreiecke

A_{4} B_{4} C_{4}

und

A_{5} B_{5} C_{5}

, in denen die Winkel

A_{4} C_{4} B_{4}

und

A_{5} C_{5} B_{5}

jeweils das Maß

γ = 25^{\circ}

haben.
Berechnen Sie die Länge der Seiten

[A_{4} B_{4}]

bzw.

[A_{5} B_{5}]

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

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Lösungen zu:

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