Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.1 (5 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel

p

sowie die Koordinaten des Scheitelpunktes

S

.
Zeichnen Sie sodann die Parabel

p

und die Gerade

g

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:

Längeneinheit 1 cm;

- 6 ≦ x ≦ 7

;

- 3 ≦ y ≦ 11

[Teilergebnis:

p : y = - x^{2} + 6 x - 1

]

Lösung zu Aufgabe A1.1

Funktionsgleichung ermitteln

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

Gerade

g : y = \frac{1}{2} x - 1

P (0 | - 1)

und

Q (5, 5 | 1, 75)

sind die Schnittpunkte der Geraden

g

mit einer nach unten geöffneten Normalparabel

p

.

Vorüberlegung: Welche Form hat eine nach unten geöffnete Normalparabel?

Schritt einblenden / ausblenden

Parabelgleichung bestimmen

Eine nach unten geöffnete Parabel hat die Form

y = - a x^{2} + b x + c

.

Bei einer Normalparabel ist zusätzlich

a = 1

\Rightarrow

y = - x^{2} + b x + c

y = - x^{2} + b x + c

Die Punkte

P

und

Q

werden in die Parabelgleichung eingesetzt und man erhält ein Gleichungssystem:

(I)

- 1 = 0^{2} + b \cdot 0 + c

\Leftrightarrow

c = - 1

(II)

1, 75 = - 5, 5^{2} + b \cdot 5, 5 + c

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichungssystem lösen - Einsetzverfahren

c = - 1

wird in Gleichung (II) eingesetzt.

Anschließend wird die Gleichung nach b aufgelöst.

(II)

1, 75 = - 5, 5^{2} + b \cdot 5, 5 - 1

|

+ 5, 5^{2} + 1

(II)

33 = 5, 5 b

|

: 5, 5

\Rightarrow

b = 6

\Rightarrow

p : y = - x^{2} + 6 x - 1

Bestimmung des Scheitelpunktes:

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Eine quadratische Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + c

besitzt folgenden Scheitelpunkt

S

S (- \frac{b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

(siehe Formelsammlung)

S (- \frac{6}{2 \cdot (- 1)} | - 1 - \frac{6^{2}}{4 \cdot (- 1)})

\Rightarrow

S (3 | 8)

Skizze

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Parabel

g

(Wertetabelle oder Schablone hilfreich) und Gerade

g

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